Construcción alternativa de la cubierta universal de un espacio

Question

Supongamos que usted ha conectado localmente ruta de acceso conectado espacio de Hausdorff $Y$ que admite universal de cobertura (es decir, semilocally simplemente conectado). Se me ocurrió que tal vez se puede describir el universal que cubre de forma ligeramente diferente de lo que normalmente se hace (al menos lo que yo he visto).

Fijar un punto de $x_0\in Y$ y considerar el conjunto $$C_{x_0}([0,1]; Y)=\{ \gamma:[0,1]\to Y\textrm{ continuous path }| \gamma(0)=x_0\}$$ which is a subset of $C([0,1];Y)$ equipped with the compact-open topology. Introducing an equivalence $\simeq$ on $C([0,1];Y)$ where $\alpha \simeq \beta$ if $\alpha$ and $\beta$ are endpoint-preserving homotopic, set $$\widetilde Y= C_{x_0}([0,1];Y)/\simeq. $$

Esta construcción sin duda está de acuerdo como se establece con el original (porque, simplemente tomamos el homotopy clases de rutas que empiezan en el punto fijo). Por otro lado, uno naturalmente, pueden dotar a $\widetilde Y$ con el cociente de la topología de $C_{x_0}([0,1];Y)$ por la relación de equivalencia $\simeq$.

La pregunta es, ¿ esta topología de acuerdo con la topología de la construcción original? Mientras que sólo estoy realmente interesado en buen geodésica espacios de $Y$ me parece interesante que si el de arriba es de hecho el "derecho" a la topología, a continuación, hay un natural de construcción que tiene sentido incluso si $Y$ no tiene una cobertura universal (lo que va mal en ese caso también es una pregunta interesante!)

Answer 1

Hay un generalizado acercamiento a cubrir espacios, llamados semicoverings, utilizando espacios de camino, en este papel de Brazas en semicoverings, que ha aparecido como la homología, homotopía y aplicaciones, vol. 14.1, 2012, pp.33–63. ¿Esto adapta a sus necesidades?

Answer 2

Demasiado largo para un comentario:

En la segunda lectura Brazas papel de los mencionados en el Ronnie Brown respuesta, aunque, estrictamente hablando, de que el papel no parece abordar el que plantea la pregunta.

Aprovecho la construcción habitual de los mencionados por el OP de topologizing la (cociente), señaló la ruta de espacio por medio de los llamados bigote topología, donde un bigote en el barrio (un homotopy clase de) un camino de $\alpha$ se define como todos (homotopy clases de las rutas de acceso $\alpha\ast \alpha'$ donde la imagen de $\alpha'$ se encuentra en un barrio de $\alpha(1)$.

Observe que Munkres (Topología de la 2ª edición, Thm 82.1, el Paso 2 en la prueba), justo antes de introducir el bigote de topología, se menciona la posibilidad de utilizar el compacto-abierta topología (por desgracia él no da ninguna pista de por qué él prefiere continuar con bigotes en su lugar).

Traté de aplicar las definiciones de las dos topologías y ver si están de acuerdo, al menos para los espacios de admisión universal de los cubrimientos, pero me he encontrado con algunas dificultades. Es decir, no puedo escribir en una base para el compacto-abierta, utilizando como abrir establece el "semi-conecta simplemente a" abrir los barrios (es decir, los barrios cuya inclusión mapas inducir trivial morfismos fundamentales de los grupos), ya que en general no son estables bajo las intersecciones.

En el arXiv preprint "Topológico y uniforme de las estructuras en universal cubriendo los espacios", los autores parecen afirmar que el bigote y el compacto-abierta topologías de acuerdo precisamente para lo que ellos llaman "pequeño bucle de transferencia de los espacios" y, si no estoy malentendido, esta clase contiene la clase de espacios de admisión universal de los cubrimientos. No he revisado cuidadosamente el papel, aunque. Espero que esto ayude.