Las estrellas y las barras se acercan.

Question

¿De cuántas maneras puede $b$ bolas azules idénticas y $r$ bolas rojas idénticas se distribuyan en $n$ ¿cajas distintas?

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Aquí la respuesta dada es :-

$\frac {(n+b-1)! (n+r-1)!}{(n-1)! (n-1)! b! r!}$

Entiendo que esta respuesta se deriva utilizando el enfoque de las estrellas y las barras, donde encontramos el número de formas para cada color y luego las multiplicamos.

Sin embargo, no consigo entender por qué la siguiente respuesta es incorrecta.

$\frac {(n+ (b+r) - 1)!} {(n-1)! b! r!}$ .

En mi segundo enfoque, inicialmente tengo $b+r$ bolas idénticas y luego dividirlas en $n$ cajas distintas. ¿Por qué es erróneo este enfoque?

Answer 1

La forma en que estás contando, permutando $n-1$ bares, $b$ azul y $r$ bolas rojas, cuenta $$\color{#55F}{\star}|\color{#55F}{\star}\color{#C00}{\star}|\color{#C00}{\star}$$ como diferente de $$\color{#55F}{\star}|\color{#C00}{\star}\color{#55F}{\star}|\color{#C00}{\star}$$ mientras que la respuesta correcta no lo hace. Los cuenta como $$\color{#55F}{\star}|\color{#55F}{\star}|\quad\text{and}\quad|\color{#C00}{\star}|\color{#C00}{\star}$$