Curvatura de Gauss de C ^ 2 superficies

Question

Hacer en libro de Carmo en geometría diferencial de curvas y superficies, la prueba de theorema egregium, que la curvatura de Gauss de una superficie inmersa en $\mathbb{R}^3$ es invariante bajo isometries locales, requiere que la superficie sea de clase al menos $C^3$.

¿Qué ocurre si la superficie es de $C^2$ sólo de la clase? La curvatura de Gauss puede definirse pero es invariante bajo isometries locales?

Mejor,

Ryan

Answer 1

Esta pregunta depende en gran medida de la regularidad de los locales de isometrías. Si la superficie es $C^2$ y hay un local de isometría de la clase $C^2$, de hecho va a conservar la curvatura de Gauss. Esto se muestra en el papel "En las Ecuaciones Fundamentales de la Geometría Diferencial" de Philip Hartman y Aurel Wintner. Nash isométrica $C^1$-incrustación teorema muestra que la curvatura se produce no ya como una obstrucción a $C^1$-isometrías. Hay incrustaciones de $S^2$ en arbitrariamente pequeñas porciones de $\mathbb R^3$ lo cual está prohibido si la curvatura tiene sentido. $C^2$-isométrica incrustaciones de $S^2$ a $\mathbb R^3$ son únicos a la acción de la distancia Euclídea grupo en el destino. Sin embargo, esto es no trivial de la regularidad del fenómeno.

Una nota al margen: La rigidez indicado para $C^2$-incrustaciones de la esfera tiene además para $C^{1,\alpha}$-incrustaciones proporcionado $\alpha>2/3$, mientras que el Nash-tipo de flexibilidad sigue siendo cierto si por algún pequeño $\alpha>0$. La crítica de $0<\alpha<1$ es desconocido.