Límite del producto de los cosenos

Question

Que $\displaystyle Pn:=\prod{k=1}^n \cos\frac{\pi}{k+2}$. Evaluar $\displaystyle\lim_{n\to \infty} P_n$.

Sólo he demostrado que el límite es positivo.

Que $\vartheta_k:=\pi/(k+2)$. Tenemos $\log Pn=\sum{k=1}^n \log\cos\vartheta_k$. Ahora, $$\log\cos\vartheta_k=-\frac{1}{2}\log(1+\tan^2\vartheta_k)>-\frac{1}{2}\tan^2\vartheta_k=-\frac{1}{2}\frac{\sin^2\vartheta_k}{\cos^2\vartheta_k}>-2\vartheta_k^2.$ $ por lo tanto podemos escribir que $$\log Pn>-2\pi^2\sum{k=1}^n \frac{1}{(k+2)^2}>-2\pi^2\int_2^{\infty}\frac{dx}{x^2}=-\pi^2$ $ $P_n>e^{-\pi^2}$.

Answer 1

Podemos utilizar el producto para $\sin x$ y $\cos x$ a la conclusión de que\begin{align} \prod{n = 1}^\infty \cos\frac{x}{n} &= \prod{n = 1}^\infty \prod{k = 0}^\infty \left( 1 - \frac{4x^2}{(2k + 1)^2 n^2 \pi^2} \right)\ &= \prod{k = 0}^\infty \prod{n = 1}^\infty \left( 1-\frac{4x^2}{(2k + 1)^2 n^2 \pi^2} \right)\ &= \prod{k = 0}^\infty \frac{\sin\frac{2x}{2k + 1}}{\frac{2x}{2k + 1}} \end {alinee el} que se podrían utilizar para aproximar su producto.