Prueba $\phi$ está bien definido

Question

Que $H$ $K$ ser subgrupos normales de un grupo $G$, $H \subseteq K$. Definir $\phi: G/H \rightarrow G/K$ $\phi(Ha)=Ka.$

Demostrar que $\phi$ es una función bien definida (es decir, si $Ha=Hb$, entonces el $\phi(Ha)= \phi(Hb)$.

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Sinceramente nunca he entendido bien definidos y cómo probarlo.

Answer 1

En primer lugar, si$J$ es cualquier subgrupo de$G$, tenga en cuenta que$Ja=Jb$ si y solo si$ab^{-1}\in J$ (utilizando la definición de clases laterales correctas), entonces:

$Ha=Hb \implies ab^{-1}\in H\subset K$ entonces $ab^{-1}\in K \implies Ka=Kb$

Por lo tanto, hemos demostrado que$Ha=Hb$ implica$\phi(Ha)=\phi(Hb)$. Entonces$\phi$ es una función bien definida ya que para cada forma de escribir el mismo coset derecho (elemento en el dominio de$\phi$) tenemos solo una imagen (elemento en codomain de$\phi$).

Answer 2

El concepto es, de hecho, un poco sutil. Vamos a reformular la definición de $\phi$, que se supone tendrá un $H$-coset y asignar un $K$-coset. La definición se puede leer de esta manera: "Dada una $H$-coset $S$, $\phi(S)$ se define como un $K$-coset de la siguiente manera. Seleccione cualquier elemento $a$$S$, y, a continuación, $\phi(S)$ $K$- coset que contiene $a$."

Ahora queda claro que el resultado de la $K$-coset al parecer depende de la selección de $a$: si usted eligió un elemento diferente de $S$, se obtiene el mismo $K$-coset mediante la aplicación de la receta para que? Mostrando que el elemento de $S$ eligió no afecta el resultado final $K$-coset es justo lo que se está pidiendo.