Prueba $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq 1$ cuando $(x^2-1)(y^2-1)(z^2-1)=8^3$

Question

Por favor ayuda para probar esta desigualdad.

Ser $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq 1$ $(x^2-1)(y^2-1)(z^2-1)=8^3$ y cada uno de los $x,y,z$ es mayor que 1.

Gracias.

Answer 1

Escriba los medios $$\begin{align} H &= \frac{3}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}} \ G &= \sqrt[3]{xyz} \ A &=\left(\frac{x+y+z}{3}\right) \end {Alinee el} $$ entonces la desigualdad de potencia media (AM-GM-HM) da $H \le G \le A$. También tenga en cuenta $$ xy + yz + zx = xyz\left (\frac {1} {x} + \frac {1} {y} + \frac {1} {z} \right) = \frac {3G ^ 3} {H} $$

Ahora dado $$\begin{align} 8^3 &= (x^2-1)(y^2-1)(z^2-1) \ &= (x-1)(y-1)(z-1)(x+1)(y+1)(z+1) \ &= (xyz-(xy+yz+zx)+(x+y+z)-1)(xyz+(xy+yz+zx)+(x+y+z)+1) \ &= \left(G^3\left(1-\frac{3}{H}\right)+3A-1\right) \left(G^3\left(1+\frac{3}{H}\right)+3A+1\right) \end {alinee el} $$ entonces tenemos tanto $$ 1-\frac {3} {H}

Answer 2

Por simetría, el valor mínimo de la expresión

$$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$$

bajo la restricción de $(x^2-1)(y^2-1)(z^2-1)=8^3$ ocurrirá cuando $x=y=z$. De esto, sigue que el mínimo ocurre cuando $x=y=z=3$ y el minimo es $1$.