Suma que implica raíces complejas y coeficiente binomial

Question

Supongamos que tengo la siguiente. En primer lugar, que $\zetam=e^{\frac{2i\pi}{m}}$. Entonces estoy tratando de encontrar la suma $$\sum{k=0}^{m-1}\left(\zetam^k+1\right)^n$ $ $n\in\mathbb{N}$. Así que sé que por el teorema del binomio puedo hacer este $$\sum{k=0}^{m-1}\sum_{j=0}^n{\binom{n}{j}\zetam^{jk}}=\sum{j=0}^n{\binom{n}{j}}\sum_{k=0}^{m-1}\zeta_m^{jk}$ $ ahora por ya $\zetam$ es una raíz compleja de la unidad, la suma de sus potencias es o $0$ si $m\not|j$ o $m$ si $m|j$. Así que pensé que podía simplificar diciendo $$\sum{j=0}^n{\binom{n}{j}}\sum_{k=0}^{m-1}\zetam^{jk}=\sum{j=0, m|j}^n\binom{n}{j}m$ $, pero ¿cómo se puede simplificar aquí? ¿O hay una mejor manera de evaluar esta suma?

Answer 1

A veces ayuda escribir $\zeta_m+1=e^{\frac{2i\pi}{m}}+1=e^{\frac{i\pi}{m}}\left(e^{\frac{i\pi}{m}}+e^{-\frac{i\pi}{m}}\right)$