Abrir conjunto entre dos curvas

Question

Deje $U := \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 : x^2 > y \} \;\cap\; \{ (x, y) \in \mathbb{R}^2 : x \geq 0 \}$.

Yo quiero probar (!) que $U$ es un conjunto abierto. Por lo tanto, hice un boceto:

Aquí $U$ está representado por el área azul. La idea básica de que la prueba era demostrar que $U$ puede ser descrito como un infinito unión de abrir las esferas alrededor de todos los puntos reales en el $x$-eje con $x > 0$.

Yo lo he probado y he llegado a la conclusión de que no debe haber una manera más fácil para probar esto, ya que era parte de un examen en mi universidad.

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Como se indicó en los comentarios, el boceto de $U$ anterior es incorrecto , como por ejemplo,$(0, -1) \in U$. Es más bien debería tener este aspecto:

Y entonces es obvio que $U$ no se puede abrir ya que no hay abierto alrededores de $(0, -1)$ que es un subconjunto de a $U$.

Answer 1

Es más fácil ver

$$U = { (x,y) \in \mathbb{R}^2 : x^2 > y } \;\cap\; { (x, y) \in \mathbb{R}^2 : x > 0 }$$

Y $A = { (x,y) \in \mathbb{R}^2 : x^2 > y }$ está abierto, porque es continuo, $f(x,y) = x^2-y$ y $A = f^{-1} (]0,+\infty[)$, por lo tanto, la imagen inversa de una abierto y establecer una función continua.

Mismo con $B = { (x, y) \in \mathbb{R}^2 : x > 0 }$, teniendo en cuenta $g(x,y) = x$ es también continuo.

Y la intersección de dos conjuntos abiertos es un abierto sistema