Número impar de las limitaciones de segunda clase (!)

Question

Para mi tesis, yo he calculado las limitaciones de un sistema de Dirac el método de análisis de restricción. El problema es que tiene número impar de las limitaciones de segunda clase (!), que me da un número inusual de grados de libertad en el espacio de fase. Podría haber cometido algunos errores.

¿Hay otro método al lado de Dirac, para analizar las restricciones del sistema?

Answer 1

Si la limitación de Hamiltoniana del sistema tiene un finito número de la real grados de libertad$^1$, y si todas las restricciones son regulares, es matemáticamente imposible tener una extraña serie de segunda clase de restricciones. (La prueba es muy similar a la razón por la que un simpléctica colector o espacio vectorial debe ser dimensional.)

Tal vez OP es en realidad teniendo en cuenta restringido Hamiltonianos la teoría de campo con un infinito número de grados de libertad y un infinito número de la segunda clase de limitaciones? (Normalmente esto sucede porque todos los campos, por ejemplo, un campo de posición $\phi(\vec{x},t)$ y un impulso campo $\pi(\vec{x},t)$, está marcado por un continuo índice, es decir, el espacio en el punto de $\vec{x}$). En ese caso, no tiene sentido para la etiqueta $\infty$ como un número impar.

Ejemplo de$^2$: Un ejemplo típico de una segunda clase de restricciones en 1+1 dimensión de la teoría de campo con canónica de la igualdad de tiempo de los corchetes de Poisson $$\tag{1} \{\phi(x,t),\pi(y,t)\}~=~ \delta(x-y), $$ $$\tag{2} \{\phi(x,t),\phi(y,t)\}~=~0, $$ $$\tag{3} \{\pi(x,t),\pi(y,t)\}~=~0, $$ es

$$\tag{4} \chi(x,t)~:=~\pi(x,t) -\partial_x\phi(x,t). $$

Ingenuamente uno puede pensar de (4) como una sola (es decir, extraño!) segunda clase de restricción, pero es realmente una infinidad de segunda clase restricciones marcadas por la posición $x$. Su equivalente en tiempo de los corchetes de Poisson son

$$\tag{5} \Delta(x,y)~:=~\{\chi(x,t),\chi(y,t)\}~=~ 2 \delta^{\prime}(x-y) $$

formal con un$^3$ inversa

$$\tag{6} \Delta^{-1}(x,y) ~=~ \frac{1}{4}{\rm sgn}(x-y).$$

Para otro ejemplo de la segunda clase de las limitaciones en la Hamiltoniana la teoría de campo, véase también, por ejemplo, este Phys.SE la respuesta.

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$^1$ La definición de grados de libertad (d.o.f.) por ejemplo, se discute en este Phys.SE post. (Tenga en cuenta que también hay un campo de la teoría de la noción de d.o.f., que es diferente. E. g. en pura QED en 3+1 dimensiones, el fotón tiene 2 física de las polarizaciones, por lo que se podría decir que la pura QED tiene 2 física d.o.f., etc. Esta no es la noción de d.o.f, que me estoy planteando aquí. Si OP es contar campo de la teoría de la d.o.f., no hay ninguna razón para que se sorprenda al encontrar un número impar, cf. en el Ejemplo).

$^2$ Este ejemplo se refiere a veces como un quirales/auto-dual bosón en 1+1 dimensiones.

$^3$ Uno debe imponer condiciones de contorno adecuadas en $|x| \to \infty$.

Answer 2

Hay un método de cuantificación de restricción elegante por Jackiw; Ver http://lanl.arxiv.org/abs/hep-th/9306075

Answer 3

La matriz del soporte de Poisson de las limitaciones secundarias es la simetría, por lo que el número de la restricción secundaria es aún. Si es impar, tal vez hay algunas nuevas restricciones de primera clase que pueden combinarse por esas limitaciones secundarias.