¿Cuál es la constante de proporcionalidad que falta en la fórmula de la levitación magnética?

Question

La fórmula para la levitación magnética es

$$ B \frac{dB}{dz} = \frac{ \rho g }{\chi} $$

pero como siempre, tengo un tiempo difícil de calcular las unidades en el SI. El lado izquierdo es $\mathrm{T^2 /m}$, mientras que $\chi$ tiene unidades de $\mathrm{m^3\,mol^{-1}}$, lo que hace que el lado derecho con las unidades de..

$$\mathrm{kg\,m^{-5}\,s^{-2}\,(mol)}$$

Obviamente no debe ser algo constante, pero no sé lo que es, como todos los textos de uso de esta unidad natural del sistema. Ayuda?

Actualización:

el uso de la permeabilidad del espacio libre según lo informado por la Wikipedia, que parece ser de Tesla-metro por Amperio, deja el lado derecho como

$$\mathrm{kg\,T\,m^{-4}\,s^{-2}\,Ampere\,mol}$$

todavía lejos de ser reconocible para el lado izquierdo

Answer 1

Como lurscher menciona en un comentario, estás usando el mal unidades de susceptibilidad magnética. $\chi$ es en realidad un número adimensional que está relacionada con la permeabilidad magnética de un material en relación a la de un vacío. Creo que se mezcla con el molar susceptibilidad magnética, que es $\chi_\text{mol} = \mathcal{M}\chi/\rho$ donde $\mathcal{M}$ es la masa molar de la sustancia (unidades de $\mathrm{kg/mol}$) y $\rho$ es la densidad (unidades de $\mathrm{kg/m^3}$). $\chi_\text{mol}$ es la cosa con las unidades de $\mathrm{m^3/mol}$, pero es $\chi$ que en realidad aparece en la levitación magnética de la fórmula.

Con eso aclarado, vamos a ver en la ecuación. El lado izquierdo, naturalmente, tiene unidades de $\mathrm{T^2/m}$. Si incluye el campo magnético constante en el lado derecho, como la Wikipedia (correctamente) hace, usted tiene

$$\biggl[\mu_0\frac{ \rho g }{\chi}\biggr] = [\mu_0]\frac{ [\rho] [g] }{[\chi]} = \biggl(\frac{\mathrm{T\,m}}{\mathrm{A}}\Biggr)\frac{\mathrm{(kg/m^3)(m/s^2)}}{1} = \frac{\mathrm{T\,kg}}{\mathrm{m\,s^2\,A}}$$

Aquí estoy usando la notación de donde poner los corchetes en torno a una cantidad designa las unidades de la cantidad. Por ejemplo, las unidades de las magnético constante se $\mathrm{T\,m/A}$, lo $[\mu_0] = \mathrm{T\,m/A}$.

Ahora usted puede comparar las unidades de los dos lados de la ecuación:

$$\frac{\mathrm{T^2}}{\mathrm{m}} = \frac{\mathrm{T\,kg}}{\mathrm{m\,s^2\,A}}$$

que se simplifica a

$$\mathrm{T} = \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{s^2\,A}}$$

Así que si esta equivalencia es correcta, a continuación, muestra que el original de la ecuación es dimensionalmente consistente. Y si miras en la página de Wikipedia para el Tesla, que de hecho da $\mathrm{T} = \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{s^2\,A}}$ como una de las definiciones de la unidad.

Alternativamente, usted puede comprobar mediante una fórmula que involucra el campo magnético y la corriente, tales como $\vec{F} = I\mathrm{d}\vec{l}\times\vec{B}$. Las unidades de esta se $\mathrm{N = A\,m\times T}$, y desde $\mathrm{N} = \mathrm{kg\,m/s^2}$, se puede establecer $\mathrm{kg\,m/s^2 = A\,m\,T}$ y encontrar exactamente lo que $\mathrm{T} = \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{s^2\,A}}$. Este es un truco útil que le evita tener que memorizar las definiciones de todos los SI (u otros) unidades.

Answer 2

$\mu_0$ falta en el lado derecho y de hecho $\chi$ es adimensional, es simplemente el cociente entre $M$y $H$. Por lo tanto

$$B \frac{dB}{dz} = \mu_0 \frac{ \rho g }{\chi}$$

La razón:

• la unidad de $B^2/\mu_0$ es la densidad de energía ($J/m^3$)
• la unidad de $[\rho g]$ es ($N/m^3$)
• $J=Nm$ todo esta bien

Answer 3

Esto es algo que me tomó un largo tiempo para envolver mi cabeza alrededor de así, pero en realidad no tiene que ser una constante (dependiendo del sistema de medición). Usted menciona que SI, que es sin duda un sistema preferido, pero voy a traer hasta cgs porque trae algunos de los factores negocio gracioso a la superficie (en particular debido a las definiciones de la statculombio), y en sus raíces, no es que lejos de SI.

Se rompen las unidades en el SI para la LHS y RHS casi correctamente, excepto que esta fórmula utiliza una adimensional $\chi$, por lo que empezar con:

$\frac{T^2}{m} = \frac{kg\cdot}{m^2\cdot s^2}$

Voy a volver a escribir este en unidades cgs. $T$ es el lugar $gauss$, $m$ es reemplazado por $cm$, $kg$ vuelve $g$, e $s$ es invariable. Así que tengo:

$\frac{gauss^2}{cm} = \frac{g}{cm^2\cdot s^2}$

Gauss es un derivado de la unidad que, en más "fundamental" de las unidades, es $gauss = \frac{g\cdot cm}{statC\cdot s^2}$. Todavía no estoy realmente cómodo tratando de explicar todos los entresijos de la statculombio (estado); usted tendrá que buscar en que un poco más a ti mismo, me temo. Termina siendo una unidad de carga, pero viene con un montón de otras implicaciones. En cualquier caso, poniendo en que la definición de la $gauss$ le da:

$\frac{g^2\cdot cm}{statC^2\cdot s^4} = \frac{g}{cm^2\cdot s^2}$

O, reorganizar y simplificar un poco,

$statC = \frac{g^{1/2}\cdot cm^{3/2}}{s}$

De hecho esa es la definición del estado, de manera que la ecuación es dimensionalmente consistente.

Que yo sepa el Coulomb a partir de SI no se comportan en todo este camino, y no tengo una buena manera de mostrar la coherencia dimensional en el SI, pero yo estaría muy interesado si alguien más lo hizo.