¿Qué es el casco inyectivo de un anillo polinómico?

Question

El casco inyectivo de un anillo de polinomio en una variable $K[X]$ (donde $K$ es un campo) es $K(X)$ $K(X)$ es un divisible por lo tanto inyectiva $K[X]$ módulo (puesto que $K[X]$ es un PID) y $K(X)$ es una extensión esencial de $K[X]$.

¿Qué hay más de una variable?

Answer 1

<blockquote> <p><strong><em>Reclamo:</em></strong> Si $A$ es un dominio integral con campo de % de fracciones $Q(A)$, $_AA\hookrightarrow Q(A)$ es un casco inyectivo.</p> </blockquote> <p><em>Prueba.</em> En primer lugar, $Q(A)$ es inyectiva como un módulo de % de $A$$$\text{Hom}_A(-,Q(A))\cong\text{Hom}_{Q(A)}(-\otimes_A Q(A),Q(A)):A\text{-Mod}^{\text{op}}\to{\mathbb Z}\text{-Mod}$$ es exacta como la composición de la localización exacta functor $$-\otimes_A Q(A):A\text{-Mod}\to Q(A)\text{-Vect},$$ the exact $Q (A) $-dualization functor $$\text{Hom}_{Q(A)}(-,Q(A)): Q(A)\text{-Vect}^{\text{op}}\to Q(A)\text{-Vect}$$ and the exact forgetful functor $Q (A) \text {-Vect} \to {\mathbb Z} \text {-Mod} $.</p> <p>Además, el mapa natural $A\to Q(A)$ es una extensión esencial, por lo que deduce de la declaración.</p>