Fórmula cuadrática en matrices$aX^2 + bX + cI = 0$

Question

DECLARACIÓN DEL PROBLEMA

Me gustaría resolver la ecuación de tipo:

$aX^2 + bX + cI = 0$

para $a,b,c$ ;

donde

• $X$ es algunos plaza de $(N \times N)$ matriz (véase la nota 1 más abajo),
• $I$ es la matriz identidad $(N \times N)$,
• $0$ es la matriz cero $(N \times N)$, y
• $a,b,c$ son algunos escalares

NOTAS/ADVERTENCIAS

1) entiendo que hay probablemente algunos matices a $X$, como invertibility o asociatividad.

INTENTO DE APROXIMACIÓN

Parece que hay cierta analogía a la solución de un similar problema de álgebra, donde en lugar de matrices, $X$ es una raíz de la 2º grado del polinomio y uno puede simplemente aplicar la fórmula cuadrática para obtener $x$. Sin embargo, estoy perplejo sobre cómo proceder después de la sustitución (véase la pregunta 2, a continuación).

PREGUNTAS

1) ¿Qué área de matemáticas debería investigar para entender este tipo de problema? ¿Qué palabras clave se debe utilizar en la búsqueda de la literatura?

2) Si al aplicar la fórmula cuadrática analogía es válida paso, ¿cómo se enfoque el resultado $X = {RHS}$ donde ${RHS}$ es el lado derecho de la ecuación que se compone de algunas raíces cuadradas de $I$, algunos múltiplos escalares $aI, bI, cI$, etc.?

3) Si existen restricciones a $X$, lo que van a hacer de esta solución?

Answer 1

Primero de todo, podemos asumir que $a\neq 0$, de lo contrario el problema sería trivial. Podemos dividir la ecuación por $a$ y consigue $X^2+pX+qI=0$. Deje $\lambda_1$ $\lambda_2$ ser las dos raíces del polinomio $f(t)=t^2+pt+q$. El polinomio mínimo $\mu_X$ $X$ debe ser $$\begin{eqnarray*} \mu_X(t) &=& t^2+pt+q \\ \mbox{or} \;\;\mu_X(t) &=& t - \lambda_1\\ \mbox{or} \;\;\mu_X(t) &=& t - \lambda_2 \end{eqnarray*} $$ Por tanto, las soluciones son o $X=\lambda_1 I$ o $X=\lambda_2 I$ o todos los diagonalizable matrices que tienen sólo $\lambda_1$ $\lambda_2$ como valores propios. Si $p^2-4q=0$, $f$ tiene una sola raíz $\lambda$ con multiplicidad $2$. En este caso, $X$ puede ser una matriz que sólo ha $\lambda$ de su valor propio, y todos los bloques de Jordan de a $X$ debe tener el tamaño de $\leq 2$.