Teorema de Poincaré-Bendixson en el toroide

Question

Estaba leyendo el periódico Generalización de un teorema de Poincaré-Bendixson a variedades bidimensionales cerradas de Arthur J. Schwartz que demuestra el siguiente teorema:

TEOREMA. Sea $M$ sea una variedad compacta, conexa y bidimensional de clase $C^2$ . Sea $\alpha: \mathbb R \times M \to M$ ser un $C^2$ acción de los reales sobre $M$ . Sea $\Omega \subset M$ ser un $\alpha$ -conjunto mínimo. Entonces $\Omega$ debe ser uno de los siguientes:
$a)$ un singleton consistente en un punto fijo
$b)$ una única órbita cerrada homeomórfica a $S^1$
$c)$ todos $M$ que es homeomorfo a un toroide $T^2$

Para la demostración, el autor considera tres casos para $\Omega$ :
$1)$ $\Omega$ es un único punto fijo
$2)$ $\Omega$ es una órbita cerrada homeomorfa a $S^1$ es decir, una órbita periódica
$3)$ $\Omega$ es un conjunto que no contiene ni puntos fijos ni órbitas cerradas.
Los casos $1)$ y $2)$ son triviales y para el caso $3)$ El autor examina dos casos:
$3)'$ $\Omega$ tiene un interior no vacío
$3)''$ $\Omega$ tiene el interior vacío y, al estar cerrado, no es denso en ninguna parte.
Para el caso $3)'$ el autor afirma que:

En este caso, como el conjunto de puntos interiores es invariante y $\Omega$ es mínimo, el conjunto de puntos límite debe estar vacío. Por tanto, $\Omega$ es abierto y cerrado y debe ser todo de $M$ . Se deduce de un resultado de Kneser $[4, p. 153]$ que desde $M$ no contiene ni puntos fijos ni órbitas cerradas debe ser homeomorfo a $T^2$ .

Tengo un gran problema con esta parte de la prueba ya que la referencia que menciona el autor, es un artículo escrito por H. Kneser con el título "Regulare Kurvenscharen auf den Ringfiachen" publicado en "Mathematische Annalen, vol. 91 (1924), pp. 135-154" que está escrito en alemán.
Estoy tratando de encontrar un artículo o un libro que contenga los resultados de este trabajo en lengua inglesa.

Answer 1

No me queda claro qué es lo que hay que eliminar. Hasta donde yo sé, aquí hay una respuesta.

Consideremos el campo vectorial $X$ que genera el flujo. Dado que el flujo debe necesariamente preservar los componentes de frontera, si hay componentes de frontera, deben ser órbitas circulares. Por tanto, no hay ninguna. Si $X$ no tiene ceros, entonces $\chi(M) = 0$ esto se deduce de una definición de $\chi(M)$ que implica contar grados de ceros de campos vectoriales (teorema de Poincare-Hopf) o de observar que $\chi(M)$ es el número de Lefschetz de cualquier mapa homotópico a la identidad, y su flujo (para tiempo pequeño) es homotópico a la identidad y no tiene puntos fijos.