Si $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ es absolutamente convergente, entonces $\sum_{n=1}^{\infty} (a_n)^2$ es convergente

Question

Que $\sum_{n=1}^{\infty} an$ ser una serie en R. prueba que si $\sum{n=1}^{\infty} an$ es absolutamente convergente, entonces $\sum{n=1}^{\infty} (a_n)^2$ es convergente.

Answer 1

Si $\sum _{n=1}^\infty an$ converge, entonces sabes que $\lim {n\to \infty}a_n=0$. Así, hay algunos $N\in \mathbb{Z} ^+$ tal que $|a_n|

Déjeme saber si usted necesita un Consejo adicional.

Answer 2

Otra forma de pensar $\displaystyle \sum^{\infty}_{n=1} a^2n$ como una dualidad par entre una secuencia de $l^{\infty}$ y $l^1$, ya que si $\displaystyle \sum^{\infty}{n=1} a_n$ es absolutamente convergente, entonces termwise $|a_n|$ uniformemente limita arriba, que implica ${an}\in l^{\infty}$, usando la desigualdad de Hölder para la suma parcial: $$ \sum^{N}{n=1} | un ^ 2n | \leq \sup{n\leq N} | an | \, \sum^{N}{n=1} | an | $$ entonces por la fronteridad uniforme de ambos la suma parcial $\displaystyle \sum^{N}{n=1} |an|$ y $\sup{n\leq N}|a_n|$ $\forall N\in \mathbb{N}$, que $N\rightarrow \infty$ te daría el resultado.