Si $ax^2 +bxy+cy^2+5x-2y+3$ dividido por $x-y+1$ tiene un remanente $0$ Determinar $a$ , $b$ y $c$ .

Question

Si $ax^2 +bxy+cy^2+5x-2y+3$ dividido por $x-y+1$ tiene un remanente $0$ Determinar $a$ , $b$ y $c$ .

No sé cómo enfocar este problema y agradecería que me aconsejaran cómo proceder.

Answer 1

Como no hay resto, la ecuación original será el producto de $x-y+1$ con otra ecuación desconocida. Para crear la $x^2$ , $y^2$ y $xy$ términos esperamos que la forma sea $dx+ey+f$ .

$$ax^2+bxy+cy^2+5x2y+3 = (xy+1)(dx+ey+f)$$ $$ax^2+bxy+cy^2+5x2y+3 = dx^2+(e-d)xy-ey^2+(d+f)x+(e-f)y+f$$

trabajando de derecha a izquierda

$$f=3$$

$$e-f=-2, e=1$$

$$d+f=5, d=2$$

$$c=-e, c=-1$$

$$b=e-d, b=-1$$

$$a=d, a=2$$

Answer 2

En $ax^2+bxy+cy^2+5x2y+3 = (xy+1)(dx+ey+f)$ , poned $x=0, y=1$ para conseguir $c+1 = 0$ y por lo tanto $c=-1$ . Poner $y=0, x=-1$ para conseguir $a-2=0$ y por lo tanto $a=2$ . Poniendo $x=1, y = 2$ obtenemos $a+2b+4c+5-4+3 = 0$ y por lo tanto $b=-1$ .