Supongamos que $\sum |a_n|$ converge. ¿Es verdad que el $\lim_{n\to\infty}n|a_n|=0$?

Question

Pregunta: Supongamos $\sum |a_n|<\infty$. Es cierto que $\lim_{n\to\infty}n|a_n|=0$?

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Supongamos que no. Luego de algunos $\epsilon>0$, y para cada $N\in{\bf N}$ existe $n\geq N$ tal que $$ |a_n|>\frac{\epsilon}{n}. $$ Esto está lejos de ser suficiente para concluir que $\sum |a_n|=\infty$. Creo que puede ser contraejemplos a la declaración. Aparte de esto, no veo lo que podría ser útil aquí.

Tenga en cuenta que la monotonía de la asunción ha sido dado de baja este problema clásico:

La serie converge implica $\lim{n a_n} = 0$

Answer 1

Por un contraejemplo, tome la secuencia $$a_n=\cases{\frac 1n & if $n $ is a square\0& otherwise}$ $