Cardinalidad de subconjuntos de $\mathbb{N}$ fija densidad asintótica

Question

Para un conjunto de $S\subset \mathbb{N}$, que

$$a(S)=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{#{s\in S>|>s\le n}}{n}$$

ser la limitación de densidad asintótica de la $S$ en los números naturales si el límite existe y $a(S)=0$ si no es así.

Ahora toma $0

$$A_\alpha = {S\subset \mathbb{N}>|>a(S)=\alpha}$$

ser el conjunto de todos los subconjuntos de $\mathbb{N}$ $\alpha$ de la densidad asintótica.

¿Es $A_\alpha$ contable?

Answer 1

Para cada $n\in\mathbb N$ elija un elemento del conjunto ${2n-1,2n}$. Cada uno de los conjuntos de $2^{\aleph_0}$ puede obtener esta forma tiene densidad asintótica $\frac12$.

P.S. Más general: Si $S$ tiene densidad $\alpha$ y $T$ tiene densidad cero, entonces el % de diferencia simétrica $S\triangle T$tiene densidad $\alpha$. Por supuesto hay continuo muchos conjuntos de densidad cero, por ejemplo, los subconjuntos de un conjunto infinito de densidad cero. Así, mediante fijación $S$ y la variación $T$, conseguimos continuo muchos conjuntos de densidad $\alpha$.