Conectado compacto que cubre el espacio del Toro es homeomorfa a $S^1\times S^1$

Question

Estoy tratando de probar el siguiente resultado:

Deje $X$ ser conectado cubrir el espacio de el toro $T:=\mathbb{R}^2/\mathbb{Z}^2$. Si $X$ es compacto, entonces es homeomórficos a un producto de dos círculos.

Probablemente la forma más directa de demostrar esto es para mostrar que no sólo se $3$ posible conectadas con espacios de $T$, a saber: $\mathbb{R}\times\mathbb{R}$, $\mathbb{R}\times S^1$ y $S^1\times S^1$ (el último es el único que es compacto, por lo que el resultado de la siguiente manera). Que yo sepa esto puede ser deducido a partir de la clasificación teorema de cubrir espacios (ver esta respuesta), sin embargo, tengo la necesidad de probar la primera:

1. $\mathbb{R}^2$ es el universal que cubre el espacio de $T=\mathbb{R}^2/\mathbb{Z}^2$
2. Las fibras de esta cubierta por los subgrupos de $\pi_1(T)$ son precisamente los $3$ espacios (hasta conjugacy).

Agradecería cualquier sugerencias para probar estos dos hechos, o alguna idea para probar el resultado principal de una manera más sencilla. Gracias de antemano.

Answer 1

Queremos mostrar que el único que cubre los espacios de la $2$-dimensiones toro se tori, cilindros y el avión. Sabemos que $\pi_1(S^1\times S^1)=\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}$, que tiene los siguientes subgrupos: 1. el subgrupo trivial, 2. libre de abelian grupos con un generador de $(p, q)$, 3. libre de abelian grupos con dos generadores $(p, q)$ $(r, s)$ tal que $ps − qr\neq 0$. Para cada subgrupo se construye ahora un cubriendo el espacio. Si el subgrupo es trivial obtenemos el universal cubrir el espacio $\mathbb{R}^2$, cubriendo mapa $p : \mathbb{R}^2\rightarrow S_1 × S_1$, $$p(x, y) = (e^{2πix}, e^{2πiy}).$$ For the second case we obtain $S^1\times \mathbb{R}$, and for the third case $S^1\times S^1$. Como usted dijo, sólo el tercero es compacto.

Answer 2

Una forma ligeramente diferente de hacer esto es para nota de que, para cubrir el espacio para ser compacto, tiene que ser finito toldo (ya que la fibra por encima de un punto es un conjunto discreto). Y, por supuesto, la única finito-índice de subgrupos de $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$ son isomorfos a $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$. Podemos ir aún más lejos y tenga en cuenta que siempre podemos elegir una base $(x,y)$$\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$, por lo que para enteros $n$ y $m$, $nx$ y $my$ son una base para el subgrupo. A continuación, la cubierta es habitual que se $n$veces de mapa ($z\mapsto z^n$) en el primer $S^1$ factor, y $m$veces en el segundo $S^1$ factor. [Debo mencionar que el cambio de la base de los cambios de la $S^1$ factores que componen el original toro; en otras palabras, podríamos tener para parametrizar el toro de forma ligeramente diferente para obtener la cobertura de mapa a ser tan agradable.]