Planos paralelos y existencia de un tetraedro regular

Question

¿Podría alguien guiar con un enfoque apropiado para el siguiente problema?

Dados cuatro planos paralelos distintos, demuestra que existe un tetraedro regular con un vértice en cada plano.

Answer 1

Empecemos con el $2D$ -versión primero. Dadas tres líneas paralelas distintas $\ell_1,\ell_2,\ell_2$ en el plano, hay un triángulo equilátero $ABC$ con $A\in\ell_1,B\in\ell_2,C\in\ell_3$ . Basta con elegir cualquier $A\in\ell_1$ y luego girar $\ell_3$ alrededor de $A$ por $60^\circ$ en el sentido de las agujas del reloj, reunión $\ell_2$ en $B$ . La bisectriz perpendicular de $AB$ se reunirá $\ell_3$ en $C$ . La forma algebraica: podemos suponer que las ecuaciones de $\ell_1,\ell_2,\ell_3$ son $y=0,y=1,y=c$ entonces demuestre que para algún $(a,b)\in\mathbb{R}^2$ la cadena de igualdades $$AB^2 = 1^2+a^2 = BC^2 = (a-b)^2+(c-1)^2 = AC^2 = c^2+b^2$$ se mantiene, es decir, que podemos cumplir simultáneamente $$(a-b)^2+(c^2-2c)=a^2,\qquad (a-b)^2+(1-2c) = b^2$$ que es lo mismo que afirmar que dos secciones cónicas se encuentran en alguna parte. Podemos observar que $(a,b)=\pm(i,ic)$ son dos soluciones complejas y calcular las soluciones reales mediante el teorema de Viète. Os dejo que hagáis lo mismo en el $3D$ -caso. Esquema del enfoque geométrico: dados tres planos paralelos distintos $\pi_1,\pi_2,\pi_3,\pi_4$ podemos considerar un plano arbitrario $\tau$ reunión $\pi_1,\pi_2,\pi_3$ en $\ell_1,\ell_2,\ell_3$ . Hay algún triángulo equilátero $ABC$ con sus vértices en $\ell_1,\ell_2,\ell_3$ por el punto anterior, y dado $ABC$ hay dos puntos candidatos $D\in\mathbb{R}^3$ completando $ABC$ a un tetraedro. Estos puntos candidatos se encuentran en un lugar, y sólo tenemos que demostrar que dicho lugar cumple $\pi_4$ en alguna parte.