Producto de monoids

Question

He estado interesado en el estudio de bialgebras de manera más abstracta, en la forma de un bimonoid interna de un monoidal simétrica de la categoría, pero estoy pegado en las condiciones de compatibilidad para bimonoids. Me permite introducir primero las definiciones.

Deje $(\mathcal{C}, \otimes, I)$ ser una categoría monoidal, a continuación, un monoid interna a $\mathcal{C}$ es un objeto $M$ junto con una unidad de mapa $u: I \to M$ y una multiplicación de mapa de $m: M \otimes M \to M$, que algunos de asociatividad y unidad de axiomas espera, es decir, los correspondientes diagramas conmutan. Un comonoid interna a $\mathcal{C}$ es un objeto $C$ junto con un counit mapa de $\varepsilon: C \to I$ y un comultiplication mapa de $\Delta: C \to C \otimes C$, que algunos coassociativity y counit axiomas mantenga pulsado el botón (exactamente a la inversa de los diagramas para un monoid). Por ejemplo, en la categoría de $k$-módulos, donde $k$ es un anillo conmutativo, un monoid es exactamente asociativa unital $k$-álgebra, y un comonoid es exactamente un coassociative counital $k$-coalgebra.

Supongamos que tenemos un objeto $B$ en la categoría de $\mathcal{C}$ que es un monoid con mapas de $(u, m)$ y un comonoid con mapas de $(\varepsilon, \Delta)$. Para $B$ a ser un bimonoid, nos falta mayor compatibilidad entre estos mapas, a saber: que $(u, m)$ son comonoid homomorphisms, y $(\varepsilon, \Delta)$ son monoid homomorphisms. Para comprobar que el $\Delta: B \to B \otimes B$ es un monoid homomorphism, tenemos que ser capaces de poner un monoidal estructura en $B \otimes B$.

Aquí está una conjetura en cuanto a lo que el monoidal estructura en $B \otimes B$ está destinado a ser. Supongamos $\mathcal{C}$ ahora es simétrica monoidal, y tenemos dos monoids $(X, u_X, m_X)$$(Y, u_Y, m_Y)$$\mathcal{C}$.A continuación, $X \otimes Y$ tiene algún candidato mapas para lo que es un monoid. La unidad es el siguiente compuesto:

$$ u_{X \otimes Y} = \left(I \xrightarrow{\sim} I \otimes I \xrightarrow{u_X \otimes u_Y} X \otimes Y\right)$$

y la multiplicación de los usos de la flip mapa de $T_{Y, X}: Y \otimes X \to X \otimes Y$ proveniente de la monoidal simétrica estructura.

$$ m_{X \otimes Y} = \left( X \otimes Y \otimes X \otimes Y \xrightarrow{1 \otimes T_{Y, X} \otimes 1} X \otimes X \otimes Y \otimes Y \xrightarrow{m_X \otimes m_Y} X \otimes Y \right)$$

Pregunta 1: ¿estos mapas de hacer $X \otimes Y$ en un monoid en $\mathcal{C}$?

Puedo demostrar lo anterior en casos especiales (tales como la categoría de $k$-módulos), pero estoy teniendo problemas para probarlo en una arbitraria monoidal simétrica categoría, y siento como que podría haber perdido algo más de la compatibilidad entre el flip mapa y la multiplicación. Y para seguir con otra pregunta:

Pregunta 2: Si no es natural monoidal estructura en $X \otimes Y$, ¿cómo debo interpretar la declaración "$\Delta: M \to M \otimes M$ debe ser una de morfismos de monoids"?

Answer 1

Es sólo connaturalidad de $T$. Esto es relativamente fácil de ver en una cadena de diagrama. Básicamente, usted sólo deslice uno de los subyacentes multiplicaciones por un cruce, a continuación, aplicar la asociatividad, a continuación, deslice hacia atrás. A continuación es mucho más opaco ecuacional representación.

La asociatividad, queremos mostrar que $m_{X\otimes Y} \circ (m_{X\otimes Y}\otimes id_{X\otimes Y}) = m_{X\otimes Y} \circ (id_{X\otimes Y}\otimes m_{X\otimes Y})$. La expansión de la definición obtenemos: $$\begin{align} & m_{X\otimes Y} \circ (m_{X\otimes Y}\otimes id_{X\otimes Y}) \\ =\ & (m_X\otimes m_Y)\circ(id_X\otimes T\otimes id_Y)\circ (((m_X\otimes m_Y)\circ(id_X\otimes T\otimes id_Y))\otimes id_{X\otimes Y}) \\ =\ & (m_X\otimes m_Y)\circ(id_X\otimes T\otimes id_Y)\circ (m_X\otimes m_Y\otimes id_{X\otimes Y})\circ(id_X\otimes T\otimes id_{Y\otimes X\otimes Y}) \\ =\ & (m_X\otimes m_Y)\circ(m_X\otimes id_X\otimes m_Y\otimes id_Y)\circ (id_{X\otimes X}\otimes T\otimes id_Y)\circ(id_X\otimes T\otimes id_{Y\otimes X\otimes Y}) \\ =\ & (m_X\circ(m_X\otimes id_X))\otimes (m_Y\circ(m_Y\otimes id_Y))\circ (id_{X\otimes X}\otimes T\otimes id_Y)\circ(id_X\otimes T\otimes id_{Y\otimes X\otimes Y}) \\ =\ & (m_X\circ(id_X\otimes m_X))\otimes (m_Y\circ(id_Y\otimes m_Y))\circ (id_{X\otimes X}\otimes T\otimes id_Y)\circ(id_X\otimes T\otimes id_{Y \otimes X\otimes Y}) \\ =\ & (m_X\otimes m_Y)\circ(id_X\otimes m_X\otimes id_Y\otimes m_Y)\circ (id_{X\otimes X}\otimes T\otimes id_Y)\circ(id_X\otimes T\otimes id_{Y\otimes X\otimes Y}) \\ =\ & (m_X\otimes m_Y)\circ(id_X\otimes m_X\otimes id_Y\otimes m_Y)\circ (id_X\otimes T\otimes id_{Y \otimes Y})\circ(id_{X\otimes Y\otimes X}\otimes T\otimes id_Y) \\ =\ & (m_X\otimes m_Y)\circ(id_X\otimes T\otimes id_Y)\circ (id_{X\otimes Y}\otimes m_X\otimes m_Y)\circ(id_{X\otimes Y\otimes X}\otimes T\otimes id_Y) \\ =\ & (m_X\otimes m_Y)\circ(id_X\otimes T\otimes id_Y)\circ (id_{X\otimes Y}\otimes ((m_X\otimes m_Y)\circ(id_X\otimes T\otimes id_Y))) \\ =\ & m_{X\otimes Y}\circ (id_{X\otimes Y}\otimes m_{X\otimes Y}) \end{align}$$

La primera ecuación se expande definiciones, a continuación, functoriality de $\otimes$ en la izquierda se utiliza el parámetro, entonces connaturalidad de $T$, luego bifunctoriality de $\otimes$, entonces la asociatividad de $m_X$$m_Y$, y luego de hacer los pasos anteriores en orden inverso, con una reescritura de la permutación representado por la mano izquierda compuesto a lo largo de la manera. Que puede ser entendida a través de la reescritura de $T_{X,Y\otimes Y} = (T_{X,Y}\otimes id_Y)\circ(id_Y\circ T_{X,Y})$ y la aplicación de leyes como la $T\circ T = id$ y connaturalidad, pero la verdad es que sólo reescribió las flechas, utilizando el hecho de que el punto de la coherencia de las leyes de la simetría es que cualquier flecha se define en términos de la simetría que produce la misma permutación es la misma flecha. También debe haber un montón de asociador y unitors a menos que el monoidal simétrica estructura es stict, pero que era demasiado de un molestia y que no parecen ser a ti mismo en relación con ella.

La unidad de las leyes son similares, pero mucho más simple.