Puntos racionales en una curva elíptica

Question

Consideremos la siguiente curva elíptica

$y^2=(x+1540)(x-508)(x-65024)$ .

Es trivial que los puntos $P_1(-1540,0)$ , $P_2(508,0)$ y $P_3(65024,0)$ se encuentran en esta curva. También es bastante fácil encontrar otros cuatro puntos enteros $P_4(-508, 262128)$ , $P_5(-508, -262128)$ , $P_6(130556, 33552384)$ y $P_7(130556, -33552384)$ .

Quiero encontrar algún otro racional puntos de esta curva. Si se utiliza la ley de grupo habitual se obtiene que para cada $1\le i \le j \le 7$ tenemos $P_i+P_j=P_k$ para algunos $1\le k\le 7$ . Por tanto, no obtenemos ningún punto nuevo.

Información general: Estoy leyendo un artículo de Ajai Choudhry, Sumas iguales de séptimas potencias. Rocky Mountain J. Math. 30 (2000), no. 3, 849-852. Toda la demostración se basa en encontrar un punto racional en la curva anterior. Choudhry encuentra uno de esos puntos $(x,y)$ con el denominador de $x$ en $12$ dígitos de longitud. No explica cómo llegó a este descubrimiento. ¿Existen otros puntos racionales más sencillos? Agradeceríamos cualquier sugerencia.

Answer 1

Como telón de fondo de la cuestión, Choudhry mostró que la eqn,

$$x_1^7 + x_2^7 + \dots + x_n^7 = 0$$

tiene un número infinito de soluciones enteras primitivas para $n=9$ . Utilizó el identidad polinómica ,

$$(x + a)^7 + (x - a)^7 + (m x + b)^7 + (m x - b)^7 + (-x - c)^7 + (-x + c)^7 +\\ (-m x - d)^7 + (-m x + d)^7 + (-14(a^6 + m b^6 - c^6 - m d^6)N)^7 = 0\tag1$$

donde,

$$x =14^6(a^6 + m b^6 - c^6 - m d^6)^6N^7$$

para arbitraria $N$ aunque hay que resolver las ecuaciones simultáneas,

$$\begin{aligned} a^2+m^5b^2 &= c^2+m^5d^2\\ a^4+m^3b^4 &= c^4+m^3d^4 \end{aligned}\tag2$$

En los casos apropiados, esto puede reducirse a un curva elíptica . Para $m=2$ Choudhry descubrió que el más pequeño soluciones enteras $a,b,c,d$ como el 33 -cifras,

$$292565171139318137956759657471297,\\ 863420822620431936290192229011966,\\ 534407060429869176086407612538177,\\ 859793943610761912321826231621886$$

lo que implica que los coeficientes de $(1)$ son tan altos como $x \approx (28d^6)^6 \approx 10^{1180}$ .

Dave Rusin reducido el sistema $(2)$ a una curva elíptica. Sea $q=(1-m^7)/(1+m^7)$ entonces,

$$U(U+1)(U+q^2)=V^2\tag3$$

Con $(2)$ siendo el caso $m=2$ Así que $q=-127/129$ . Para simplificar, dejemos que $U=u/129^2,\;V=v/129^3$ y obtenemos,

$$u(u+127^2)(u+129^2)=v^2\tag4$$

La simetría de $(4)$ permite que para $u_k$ entonces,

$$u_{k+1}=\frac{(127\cdot129)^2}{u_k}\tag5$$

también es una solución. Excluyendo los puntos de torsión, hay ocho soluciones "pequeñas" (con $u_5$ cortesía de Jeremy Rouse en este Puesto MO ),

$$u_1 =\small \Bigl(\frac{\color{blue}{77684960}\sqrt{129}}{79\cdot12497}\Bigr)^2=-129^2+\Bigl(\frac{\color{blue}{78490049}\sqrt{129}}{79\cdot12497}\Bigr)^2$$

$$u_3 =\small -\Bigl(\frac{891195649\sqrt{129}}{78490049}\Bigr)^2=-129^2+\Bigl(\frac{15796208\sqrt{258}}{78490049}\Bigr)^2$$

$$u_5 =\small \Bigl(\frac{\color{green}{224312161}\sqrt{127}}{1079\cdot24423}\Bigr)^2=-127^2+\Bigl(\frac{\color{green}{372170768}\sqrt{127}}{1079\cdot24423}\Bigr)^2$$

$$u_7 =\small -\Bigl(\frac{264770431\sqrt{127}}{23260673}\Bigr)^2=-127^2-\Bigl(\frac{26352417\sqrt{254}}{23260673}\Bigr)^2$$

y distinto $u_2,\,u_4\,u_6,\,u_8$ obtenido mediante $(5)$ . Tenga en cuenta que,

$$\color{blue}{77684960}+\color{blue}{78490049} = 12497^2$$

$$\color{green}{224312161}+\color{green}{372170768} = 24423^2$$

P.D. Los cuatro primeros $u_i$ después de eliminar los factores comunes, dan el mismo $a,b,c,d$ como arriba. ¿Por qué los $u_i$ parecen tan "estructurados"?

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Edita: (Ene 2018) Hay otras soluciones "pequeñitas",

$$u_9 = \small\Bigl(\frac{3399461793\sqrt{127}}{224312161}\Bigr)^2=-127^2+\Bigl(\frac{4236326896\sqrt{127}}{224312161}\Bigr)^2=-129^2+\Bigl(\frac{48010029072}{224312161}\Bigr)^2$$

$$u_{10} = \small\Bigl(\frac{125382401\sqrt{129}}{77684960}\Bigr)^2=-129^2+\Bigl(\frac{891195649\sqrt{129}}{77684960}\Bigr)^2=-127^2+\Bigl(\frac{9968236223}{77684960}\Bigr)^2$$

Answer 2

EDIT: Había un error tipográfico en mi primer mensaje. La conclusión es ahora diferente.

Como sugiere Amzoti, puedes usar Sage libremente en cloud.sagemath.com. Con tu curva descubrirás esto:

sabio: E = EllipticCurve([0,-63992,0,-67887088,50869575680])

sabio: E.torsion_points()

[(-1540 : 0 : 1), (-508 : -262128 : 1), (-508 : 262128 : 1), (0 : 1 : 0), (508 : 0 : 1), (65024 : 0 : 1), (130556 : -33552384 : 1), (130556 : 33552384 : 1)]

sabio: E.gens()

[(100132172429824908929/1508738252550400 : 143687064081412107244001809983/58603135399923860992000 : 1)]

Así que los puntos que has encontrado son todos del grupo de torsión, por lo que aplicar la ley de grupos en estos puntos no te dará más puntos. El rango es $1$ y así puedes encontrar más puntos calculando múltiplos de la generatriz de gran altura que encontró Sage.