Equivalencia de Archimedian campos propiedades

Question

Estoy tratando de probar que un Archimedian campo es un campo de los números reales, mi plan es utilizar el hecho de que los racionales son densos en el campo y sus Dedekind finalización es el de los números reales.

Sin embargo, me parece que en algunos problemas de la escritura de una casa a prueba por el hecho de que las dos propiedades de Archimedian campos son equivalentes:

Deje $F$ ser ordenada campo, los siguientes son equivalentes:
1. Para cada $x\in F$ existe un número natural $n$ tal que $x < n$
2. Los racionales son densos en $F$

(De hecho, sólo necesito $(1)\implies (2)$ a ser probado)

Tengo la esencia de la prueba, supongamos por contradicción que algunos $a<b$ son dos números que no tienen los números racionales en el medio, wlog podemos suponer $a,b\in (0,1)$, tomar algunos de $n$ que es bastante grande y se muestran algunos de los $\frac{k}{n}$ tiene que ser entre el $a$ $b$ de lo contrario hay algunos $x$ que es una cota superior de a $\mathbb{N}$ en el campo. Sin embargo parece que yo no puedo escribir con elegancia.

Answer 1

Esto es bastante trivial si se ven correctamente. En resumidas cuentas, todo se reduce a la observación de que podemos emplear racional basado en reglas, es decir, podemos cambiar nuestra unidad de medida en el número de la línea de $1$ a cualquier racional $\rm\:s\:$. Más precisamente, supongamos que queremos encontrar un racional en el real intervalo de $\rm\ (a,b),\ a,b\in \mathbb R\:$. Simplemente elija algunos racional $\rm\:r < a\ $ y un racional positivo el tamaño de paso de $\rm\ s < b-a\:.\ $ Ahora, a partir de $\rm\:r\:,\ $ seguir tomando medidas de tamaño de $\rm\:s\:.\ $ Por el de Arquímedes de la Propiedad (AP) eventualmente vas a superar a $\rm\:b\:$, y dar un paso atrás desde el primer punto, necesariamente, las tierras que en un punto racional en $\rm\ (a,b)\:,\ $ desde el tamaño de paso es menor que el intervalo. Dado que la prueba se utiliza sólo el de Arquímedes de la propiedad funciona para cualquier campo de Arquímedes. Esencialmente, es simplemente el empleo de la (Euclidiana) algoritmo de la división de racionales. De forma equivalente, en lugar de elegir la unidad de $1$ para nuestro número de la línea que en lugar de elegir la unidad a ser el número racional $\rm\:s\:$ que es nuestro tamaño de paso. De hecho, estas ideas de ir todo el camino de regreso a Euclides, que lo utilizó para (efectivamente) calcular el mcd de los racionales (mayor medida común de los segmentos de línea).

Resulta esclarecedor examinar la prueba en JM respuesta desde este punto de vista geométrico: por la AP se puede ampliar el intervalo de $\rm\ I = (a,b)\ $ por un factor entero $\rm\:n\:$ obtener $\rm\:n\:I = (na,nb)$ de la longitud de la $> 1\:.\ $, con Lo que por la AP no es un número entero $\rm\:k\in n\:I\:$ por lo tanto racional $\rm\:k/n\in I\:.\ $ QED $\ $ Aviso cuánto más intuitivo que la prueba es cuando se presenta de esta forma geométrica. La clave de su éxito es que el problema es invariante bajo racional de escala de simetrías. Por lo tanto, podemos escala se reducen a lo que equivale a un trivial de piso o techo de la computación (estas funciones existen por la AP y la inducción).

Answer 2

Hay un número entero positivo $n$ mayor de $(b-a)^{-1}$, y hay un menos positivo entero $k$ mayor de $n\cdot a$. Así $a\lt\frac{k}{n}$ y $\frac{k-1}{n}\leq a$, $\frac{k}{n}=\frac{k-1}{n}+\frac{1}{n}\lt a +(b-a) = b$.

Answer 3

Para mi opinión sobre esto, vea la prueba de la Proposición 108 en estas notas.