Coordenadas 3D del centro del círculo dadas tres puntos del círculo.

Question

Dadas las tres coordenadas $(x_1, y_1, z_1)$ , $(x_2, y_2, z_2)$ , $(x_3, y_3, z_3)$ definiendo un círculo en el espacio 3D, cómo encontrar las coordenadas del centro del círculo $(x_0, y_0, z_0)$ ?

Answer 1

Sean los puntos conocidos $A(x_1, y_1, z_1)$ , $B(x_2, y_2, z_2)$ et $C(x_3, y_3, z_3)$ . Queremos encontrar $I(x,y,z)$ para que $I$ es coplanario con $A,B,C$ y equidistante de $A,B,C$ .

Hay una forma geométrica de resolver esto. Supongo que sabes encontrar la ecuación del plano a partir de un punto y un vector normal. Si no es así, busca aquí .

A partir de ahí, se puede pensar en $I$ como la intersección de 3 planos:

1. Desde $IA = IB$ , $I$ debe estar en el plano perpendicular bisectriz del segmento de línea $AB$ . Este es un plano que pasa por el punto medio $M\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2},\frac{z_1+z_2}{2}\right)$ de $AB$ y es perpendicular a $AB$ (su vector normal es $\overrightarrow{AB}$ ).

2. Similar al plano 1 pero con segmento de línea $AC$ o $BC$ en lugar de $AB$

3. Finalmente, $I$ debe estar en el plano que contiene los puntos $A,B,C$ . Su vector normal es $\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$ .

Una vez que se tienen las ecuaciones de los planos anteriores, se obtiene un sistema lineal de ecuaciones, que debería ser fácil de resolver. La solución del sistema es la coordenada de $I$ .

Answer 2

Sean los tres puntos del espacio $P_1$ , $P_2$ et $P_3$ y el centro del círculo que pasa por ellos es $C$ . Definir los vectores del árbol, $\vec{D}_{21}$ , $\vec{D}_{31}$ et $\vec{U}$ , ver Fig.1. Esquema . Las componentes cartesianas de estos tres vectores son,

$ D_{21x} = P_{2x}-P_{1x} \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\, (1) \\D_{21y} = P_{2y}-P_{1y} \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\,\, (2) \\D_{21z} = P_{2z}-P_{1z} \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\,\, (3) \\D_{31x} = P_{3x}-P_{1x} \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\, (4) \\D_{31y} = P_{3y}-P_{1y} \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\,\, (5) \\D_{31z} = P_{3z}-P_{1z} \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\,\, (6) \\U_{x} = C_{x}-P_{1x} \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad\,\, (7) \\U_{y} = C_{y}-P_{1y} \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad\,\,\, (8) \\U_{z} = C_{z}-P_{1z} \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad\,\,\, (9)$

Desde $C$ es equidistante a $P_1$ , $P_2$ et $P_3$ el pie de las perpendiculares bajó de $C$ a $\vec{D}_{21}$ et $\vec{D}_{31}$ vectores están realmente en el punto medio de estos vectores. Entonces las dos siguientes identidades de producto punto vectorial son válidas.

$ \vec{U}\cdot\vec{D}_{21} = \vert\vec{U}\vert \vert\vec{D}_{21}\vert \cos\theta = \cfrac{1}{2}\vert\vec{D}_{21}\vert^2 \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\,\,\, (10) \\\vec{U}\cdot\vec{D}_{31} = \vert\vec{U}\vert \vert\vec{D}_{31}\vert \cos\beta = \cfrac{1}{2}\vert\vec{D}_{31}\vert^2 \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\,\,\, (11)$

Después de descomponer las ecuaciones (10) y (11) en sus componentes cartesianas y elaborar las ecuaciones,

$ D_{21x}U_{x}+D_{21y}U_{y}+D_{21z}U_{z} = F_{2} \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\,\,\,\,\,\,\, (12) \\ D_{31x}U_{x}+D_{31y}U_{y}+D_{31z}U_{z} = F_{3} \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\,\,\,\,\,\,\, (13)$

donde,

$ F_{2} = \cfrac{1}{2}(D_{21x}^2+D_{21y}^2+D_{21z}^2) \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\,\,\,\,\, (14) \\F_{3} = \cfrac{1}{2}(D_{31x}^2+D_{31y}^2+D_{31z}^2) \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\,\,\,\,\, (15)$

Desde $C$ está en el mismo plano que $P_1$ , $P_2$ et $P_3$ esta condición requiere la siguiente identidad vectorial.

$ \vec{U}\cdot(\vec{D}_{21}\times\vec{D}_{31}) = 0 \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\,\,\,\, (16)$

Después de descomponer la Ec. (16) en sus componentes cartesianas, resulta la siguiente identidad determinante.

$ \begin{vmatrix}U_x&U_y&U_z\\D_{21x}&D_{21y}&D_{21z}\\D_{31x}&D_{31y}&D_{31z}\\ \end{vmatrix}=0 \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\,\,\, (17)$

La ecuación (17) se simplifica en,

$ M_{23yz}U_{x}+M_{23xz}U_{y}+M_{23xy}U_{z} = 0 \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad (18)$

donde,

$ M_{23xy} = D_{21x}D_{31y}-D_{21y}D_{31x} \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad (19) \\M_{23yz} = D_{21y}D_{31z}-D_{21z}D_{31y} \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\, (20) \\M_{23xz} = D_{21z}D_{31x}-D_{21x}D_{31z} \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad (21)$

En resumen, las ecuaciones (12), (13) y (18) son las tres ecuaciones lineales necesarias para calcular las tres coordenadas del vector $\vec{U}$ . Se pueden escribir en forma de matriz como sigue.

$ \begin{bmatrix} M_{23yz}&M_{23xz}&M_{23xy}\\D_{21x}&D_{21y}&D_{21z}\\D_{31x}&D_{31y}&D_{31z}\\ \end{bmatrix} \begin{Bmatrix} U_{x}\\U_{y}\\U_{z}\\ \end{Bmatrix} = \begin{Bmatrix} 0\\F_{2}\\F_{3}\\ \end{Bmatrix} \qquad\qquad\quad\,\,\,\, (22)$

Después de resolver la ecuación (22) para $U_{x}$ , $U_{y}$ et $U_{z}$ y volviendo a sustituir a las ecuaciones (7), (8) y (9), la solución de forma cerrada de las coordenadas del punto $C$ se encuentran de la siguiente manera.

$ C_{x} = P_{1x} + \cfrac{M_{23xy}F_{23y}-M_{23xz}F_{23z}}{M_{23xy}^2+M_{23yz}^2+M_{23xz}^2} \qquad\qquad\qquad\qquad\,\,\,\,\,\,\,\, (23) \\C_{y} = P_{1y} + \cfrac{M_{23yz}F_{23z}-M_{23xy}F_{23x}}{M_{23xy}^2+M_{23yz}^2+M_{23xz}^2} \qquad\qquad\qquad\qquad\,\,\,\,\,\,\,\, (24) \\C_{z} = P_{1z} + \cfrac{M_{23xz}F_{23x}-M_{23yz}F_{23y}}{M_{23xy}^2+M_{23yz}^2+M_{23xz}^2} \qquad\qquad\qquad\qquad\,\,\,\,\,\,\,\, (25)$

donde,

$ F_{23x} = F_{2}D_{31x}-F_{3}D_{21x} \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad (26) \\F_{23y} = F_{2}D_{31y}-F_{3}D_{21y} \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\, (27) \\F_{23z} = F_{2}D_{31z}-F_{3}D_{21z} \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\, (28)$

A efectos de codificación, a continuación encontrará el conjunto completo de ecuaciones en forma de texto.

D21x = P2x-P1x
D21y = P2y-P1y
D21z = P2z-P1z
D31x = P3x-P1x
D31y = P3y-P1y
D31z = P3z-P1z

F2 = 1/2*(D21x^2+D21y^2+D21z^2)
F3 = 1/2*(D31x^2+D31y^2+D31z^2)

M23xy = D21x*D31y-D21y*D31x
M23yz = D21y*D31z-D21z*D31y
M23xz = D21z*D31x-D21x*D31z

F23x = F2*D31x-F3*D21x
F23y = F2*D31y-F3*D21y
F23z = F2*D31z-F3*D21z

Cx = P1x+(M23xy*F23y-M23xz*F23z)/(M23xy^2+M23yz^2+M23xz^2)
Cy = P1y+(M23yz*F23z-M23xy*F23x)/(M23xy^2+M23yz^2+M23xz^2)
Cz = P1z+(M23xz*F23x-M23yz*F23y)/(M23xy^2+M23yz^2+M23xz^2)

Answer 3

Resultado directo para 3 puntos en el espacio 2, pero ningún resultado de coordenadas en el espacio 3 para el centro del círculo.

Necesidad de reconocer el patrón de acumulación de polinomios dado por Mathematica pero aún no es concluyente.

¿Puede intentarse como un caso especial en la incrustación 4D?

Answer 4

En este fórmula el centro $O$ de un círculo circunscrito de $\triangle ABC$ se expresa como una combinación convexa de sus vértices en términos de coordenadas $A,B,C$ y las correspondientes longitudes de los lados $a,b,c$ , adecuado tanto para 2d como para 3d:

\begin{align} O&= A\cdot \frac{a^2\,(b^2+c^2-a^2)}{((b+c)^2-a^2)(a^2-(b-c)^2)} \\ &+B\cdot \frac{b^2\,(a^2+c^2-b^2)}{((a+c)^2-b^2)(b^2-(a-c)^2)} \\ &+C\cdot \frac{c^2\,(b^2+a^2-c^2)}{((b+a)^2-c^2)(c^2-(b-a)^2)} . \end{align}

Answer 5

Supongamos que la circunferencia está definida por los 3 puntos a, b y c, y que el centro se denomina d. Siguiendo las pistas de las respuestas anteriores, las coordenadas de los puntos a, b y c pueden introducirse en la ecuación de una circunferencia. 3 ecuaciones del círculo y 4 incógnitas (3 coordenadas del centro c más el radio) significa que nos quedan 2 incógnitas para una ecuación. Esta ecuación representa, de hecho, la línea que pasa por el centro de la circunferencia y que tiene la misma distancia a los puntos a, b y c. La intersección de esta línea con el plano abarcado por a, b y c da el punto c. El resto es álgebra, haciendo uso de alguna sustitución inteligente de variables:

        Cx = bx-ax
        Cy = by-ay
        Cz = bz-az
        Bx = cx-ax
        By = cy-ay
        Bz = cz-az
        B2 = ax**2-cx**2+ay**2-cy**2+az**2-cz**2
        C2 = ax**2-bx**2+ay**2-by**2+az**2-bz**2

        CByz = Cy*Bz-Cz*By
        CBxz = Cx*Bz-Cz*Bx
        CBxy = Cx*By-Cy*Bx
        ZZ1 = -(Bz-Cz*Bx/Cx)/(By-Cy*Bx/Cx)
        Z01 = -(B2-Bx/Cx*C2)/(2*(By-Cy*Bx/Cx))
        ZZ2 = -(ZZ1*Cy+Cz)/Cx
        Z02 = -(2*Z01*Cy+C2)/(2*Cx)

y finalmente las coordenadas del centro:

        dz = -((Z02-ax)*CByz-(Z01-ay)*CBxz-az*CBxy)/(ZZ2*CByz-ZZ1*CBxz+CBxy)
        dx = ZZ2*dz + Z02
        dy = ZZ1*dz + Z01