Realmente estoy teniendo un momento difícil con este problema: Encontrar tres distintos, abierto pone en $\mathbb{R}$ (std. topología) que tienen el mismo vacío de la frontera. He jugado un par de ideas como $\mathbb{Q}$, {$\sqrt{p}+\mathbb{Q}$}, {$\sqrt{q}+\mathbb{Q}$} donde $p$ $q$ son distintos de los números primos, pero estos conjuntos no están abiertos. Me pueden encontrar ejemplos que encajan a dos de las condiciones, pero no las tres.
Respuesta
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Deje $C$ ser el ternario de Cantor establece en $[0,1]$. Su complemento en $[0,1]$ es una contables de la unión de intervalos abiertos, que son, naturalmente, clasificado en "generaciones", por ejemplo, por el tamaño. Deje $U_i$ ser la unión de los bloques abiertos de generación congruente a$~i$ modulo$~3$$i=0,1,2$. Luego la abre conjuntos de $U_0,U_1,U_2$ son distintos, y $\partial(U_1)=C$$i=0,1,2$.
El punto esencial de esta construcción es que aunque cada una de las $U_i$ es que faltan muchos de los intervalos abiertos del complemento de$~C$, el límite de $\partial(U_i)$ contiene los puntos de límite de los intervalos, debido a $U_i$ contiene intervalos arbitrariamente cerca de esos puntos. Lo mismo es cierto para una cantidad no numerable de puntos de $C$ que no son un punto final de cualquier intervalo.
Uno puede generalizar esta construcción directamente a más de tres distintos subconjuntos abiertos con el mismo límite, por una elección correcta de los distintos infinitos subconjuntos del conjunto de las generaciones (que es indexado por los números naturales). En particular, uno puede encontrar countably muchos distintos subconjuntos abiertos a todos con límite igual a$~C$. Desde cualquier colección de subconjuntos disjuntos de a$~\Bbb R$ es en la mayoría de los contables, esto es tan bueno (o malo, dependiendo de su punto de vista) como uno puede esperar a obtener.
