Me estoy tratando con un desconcertante problema y espero que algunos de ustedes me puede ayudar.
Vamos a ser $(G,\cdot ) $ ser un Hausdorff-grupo y que $A,B \subseteq G$. Mostrar que si $A$ es cerrado y $B$ es compacto, entonces $AB$ es cerrado.
Debido a que me estoy planteando un topológico de Hausdorff-grupo, tenemos dos continuo de los mapas: $\psi: G \times G \rightarrow G, (x,y) \mapsto xy$ $ \phi: G \times G \rightarrow G, (x,y) \mapsto x{y}^{-1} $
Mi idea era mostrar que la $(AB)^{c}$ está abierto en su lugar.
En primer lugar vemos, que si $A$ está cerrada, $A^{c}$ es abierto y debido a $\phi$ es continua $\phi^{-1}(A^{c})$ también está abierto.
Ahora vamos a elegir a un arbitrario $x \in (AB)^{c}$. Vemos que $\forall y \in B: \phi(x,y)=xy^{-1} \in A^{c}$. (porque si no sería en $A$ podríamos concluir $\psi(xy^{-1},y)=xy^{-1}y \in AB$, lo que se opondría a la elegida x)
Así que sabemos que $\phi(x,y)=xy^{-1} \in A^{c} \Rightarrow (x,y) \in \phi^{-1}(A^{c})$, que es abierto.
A continuación, encontramos los barrios de la $U$ $x$ $V$ $y$ tal forma que: $\forall y \in B \exists U_{y} \exists V : (x,y) \in U_{y} \times V \subseteq \phi^{-1}(A^{c})$
Si yo pudiese mostrar, que $U:= \cap_{y \in B} U_{y}$ es abierto (no sé esto, porque podría ser un infinito intersección) creo que mi prueba es completa.
Porque entonces puedo mostrar que $U \subseteq (AB)^{c}$, por lo que para arbitrario $x$ $(AB)^{c}$ es una vecindad de x. Esto significa que $(AB)^{c}$ está abierto.
¿Alguien puede darme una pista de cómo puedo demostrar, que esta intersección es finito? Supongo que se debe seguir a partir de la compacidad de la B, porque no lo he utilizado todavía, pero no tengo ni idea de cómo?
Gracias!
