Dada una distribución de Poisson compuesto $$S(t):=\sum_{k=1}^{N(t)} X_{k}$$ con
- $N(t)\in\mathbb{N},\,t\geq0$ un proceso de Poisson con tasa de $\lambda.$
- $X_{k}$ son no-negativos iid variables aleatorias tales que $\mathbb{E}\left[X_{k}\right]<\infty$$\sigma^{2}:=\operatorname{Var}(X_{k})<\infty$.
- $N$ $(X_{1},X_{2},\ldots)$ son independientes.
A continuación, $$\mathbb{E}\left[ S\right]= \mathbb{E}\left[ N\right]\mathbb{E}\left[ X_{1}\right]$ $ así como $$\operatorname{Var}\left[ S\right]= \operatorname{Var}\left[ N\right]\,\mathbb{E}\left[ X_{1}\right]^{2} + \mathbb{E}\left[ N\right]\operatorname{Var}\left[ X_{1}\right].$$ Entonces tenemos, por una versión del teorema central del límite, que
$$\frac{S(t)-\mathbb{E}\left[S(t) \right]}{\sqrt{\operatorname{Var}\left[S(t) \right]}}\stackrel{d}{\to} \mathcal{N}(0,1)\,\text{as } t\to\infty.$$
Supongamos que $\mathbb{E}\left[ X_{k}\right]=0$ $N(t), t \geq 0$ es una familia de positivo, entero con valores de variables aleatorias, que hay un $\theta >0$ $$ \frac{N(t)}{t}\stackrel{\mathbb{P}}{\rightarrow}\theta,\,\text{ as } t\to\infty. $$
De acuerdo a Renyi o Anscombe del Teorema, entonces tenemos \begin{align*} \frac{S(t)}{\sigma\sqrt{N(t)}} \xrightarrow[]{d} \mathcal{N}(0,1)\,\text{ as } t\to\infty \\ \frac{S(t)}{\sigma\sqrt{\lambda\cdot t}} \xrightarrow[]{d} \mathcal{N}(0,1)\,\text{ as } t\to\infty, \\ \end{align*} que es diferente de la anterior aproximación normal (uso de Wald de la identidad).
Mis preguntas ahora son:
¿Cuál es la diferencia clave entre las dos aproximaciones? Y que una de ellas es cuando la copa?
Dada una realización de un proceso de Poisson compuesto $$ s=\sum_{k=1}^{N} x_{k},$$ con los parámetros desconocidos. ¿Cómo se puede estimar los parámetros en orden para luego aplicar el teorema del límite central (con Wald de la identidad)?
Por ejemplo, si se utiliza de ejemplo, se obtendría $$\frac{s-N\cdot \frac{\sum_{k=1}^{N}x_{k}}{N}}{\tilde{\sigma}}=\frac{s-s}{\tilde{\sigma}}=0,$$ que no es útil.
$\textbf{Update}$: Muchas gracias por la respuesta hasta ahora, lo que me lleva a la siguiente pregunta. Supongamos que no requieren $X_{k}$ a ser no negativo en la segunda condición, pero que $X_{k}\in L^{2}$, con una media de $\mu_{X}$ y la varianza $\sigma_{X}^{2}$.
Entonces tenemos por la CLT para el compuesto de Poisson de los procesos que $$\frac{S(t)-\mu_{X}\lambda t}{\sqrt{\lambda t(\mu_{X}^{2}+\sigma_{X_{k}}^{2})}}= \frac{S(t)-\mu_{X}\lambda t}{\sqrt{\lambda t\mathbb{E}\left[X_{k}^{2} \right]}}\stackrel{d}{\to} \mathcal{N}(0,1)\,\text{as } t\to\infty.$$
Por otro lado, el centro de $X_{k}$ alrededor de su media, es decir, $Y_{k}:=X_{k}-\mu_{X}$. A continuación,$\mathbb{E}\left[Y_{k}\right]=0$$\operatorname{Var}(Y_{k})=\operatorname{Var}(X_{k})=\sigma_{X}^{2}$.
Mediante la aplicación de Anscombe del Teorema en $\sum_{k=1}^{N(t)} Y_{k}$, obtenemos \begin{align*} \frac{\sum_{k=1}^{N(t)}X_{k} - N(t)\mu_{X}}{\sigma_{X}\sqrt{N(t)}} = \frac{S(t) - N(t)\mu_{X}}{\sigma_{X}\sqrt{N(t)}}\xrightarrow[]{d} \mathcal{N}(0,1)\,\text{ as } t\to\infty. \end{align*} Como $\frac{N(t)}{t}\to \lambda$ casi seguramente, obtenemos \begin{align*} \frac{S(t)-\mu_{X}\lambda t}{\sqrt{\lambda t\sigma_{X}^{2}}}=\frac{S(t)-\mu_{X}\lambda t}{\sqrt{\lambda t\left(\mathbb{E}\left[X_{k}^{2} \right]-\mathbb{E}\left[X_{k}\right]^{2} \right)}}\xrightarrow[]{d} \mathcal{N}(0,1)\,\text{ as } t\to\infty, \end{align*} que se diferencia por $-\mathbb{E}\left[X_{k}\right]^{2}$ a la expresión anterior. Esto no parece compatible, sin embargo, no estoy seguro de que el error reside.
