Triple integral con múltiples límites y.

Question

Problema : Estoy tratando de calcular la masa del sólido delimitada por$z = y^5 + 1, \ z = 0, \ y = x, \ y = x^2, \ y = 1.$. La densidad en cada punto es directamente proporcional al cuadrado de la distancia desde el plano yz.

Divido la integral para simplificar el cálculo:

Asumiendo $\rho=kx^2$,

$k \cdot \int_{-1}^0 \int_{x^2}^1 \int_0^{y^5 + 1} x^2 dz \ dy \ dx + k \cdot \int_{0}^1 \int_x^{1} \int_0^{y^5 + 1} x^2 dz \ dy \ dx$

Me pregunto si hay una manera más fácil de configurar la integral triple y si mis límites de integración son correctos.

Answer 1

Sus límites de integración son perfectamente correcto, pero hay una manera más fácil de configurar que integral. Si dejas $y$$0$$1$$x$$-\sqrt{y}$%#%, se puede expresar como una sola integral: $y$$ Tanto en este como en su formulación dar la misma respuesta $$k\int_0^1\int_{-\sqrt{y}}^y\int_0^{y^5+1}x^2\ dz\ dx\ dy$, lo que he mostrado aquí , junto con una representación visual de la región de integración en el $(\approx 0.298k)$-plano.

Edit: La respuesta exacta está dada por$xy$$