Prueba del teorema egregium con marcos en movimiento

Question

Estoy aprendiendo el movimiento de enfoque del marco (con diferencial de la forma) en la superficie de la teoría a partir de los diferentes libros y papeles (Cartan, O'Neill, Shifrin, Flandes y otros).

Brevemente: se definen adaptado bastidor móvil en la superficie de la $(P, e_1, e_2, e_3)$, a continuación, se definen las formas duales $\omega_i = dP\cdot e_i$ y la conexión de las formas $\omega_{ij} = de_i \cdot e_j$. De Cartan de la estructura de las ecuaciones de encontrar Gauss y Codazzi ecuaciones y otras cosas. Lo siguiente que probar la fórmula fundamental $d\omega_{12} = -Kd\sigma$ (donde $K = detS$ es la curvatura de gauss). Aquí en algunos textos sigue dos pasos antes de llegar al teorema egregium:

1) probar que si a considerar otro marco de $(P, \bar e_1, \bar e_2, \bar e_3$) de $d\omega_{12} = d \bar \omega_{12}$

2) demostrar que $\omega_{12}$ es el único 1-forma en la cual se satisfacen las dos ecuaciones $d\omega_1 = -\omega_2 \wedge \omega_{12}$$d\omega_2 = \omega_1 \wedge \omega_{12}$, por lo que es intrínseco

Estos pasos son necesarios? Me refiero

1) no es obvio que $d\omega_{12}$ no dependen de la trama, ya que ni el $K$ ni $d\sigma$ dependen de la trama?

2) no es obvio que $\omega_{12}$ es intrínseca, ya que es definida como $de_1\cdot e_2$?

Gracias de antemano.

Answer 1

Así que, sí, podemos utilizar la definición extrínseca de $K$ (como el factor determinante de la operadora de forma), pero entonces para inferir el Theorema Egregium - es decir, que $K$ es intrínseca, es decir, dependiente solamente en la métrica inducida y no en la particular inclusión - necesitamos Sabemos que $d\omega_{12}$ es intrínseca. Tenga en cuenta que la respuesta a tu segunda pregunta es no, ya que producto de punto depende de la fijación de la superficie en $\Bbb R^3$.