Así que se me ocurrió esta pregunta que pensé que sería interesante compartir: Considere $ \mathbb {Z}^2$ como un subconjunto de $ \mathbb {R}^2$ y para una circunferencia $C$ en $ \mathbb {R}^2$ que $f(C)=|C \cap\mathbb {Z}^2|$ es decir, el número de puntos de la red que se encuentran en la circunferencia. Encuentra el mínimo $k \in\mathbb {N}$ de tal manera que $f(C) \neq k$ para toda la circunferencia $C \in\mathbb {R}^2$
(Espero que valga la pena intentarlo)
Digamos (para la conveniencia de esta pregunta) que para $k \in\mathbb {N}$ si existe una circunferencia tal que $f(C)=k$ Entonces $k$ es admisible (no admisible de otra manera). Y digamos que un conjunto finito de puntos cíclicos $ \mathcal {A}=\{A_1, \ldots ,A_n\}$ es comaximal si se encuentran en una circunferencia y $f(C)=| \mathcal {A} \cap C|=n$ (para algunos $C$ ), es decir, que ya no tiene sentido $ \mathbb {Z}^2$ que son cíclicos con los puntos en $ \mathcal {A}$ .
Al principio es fácil comprobar que 1,2,3 y 4 son admisibles.
Más tarde pensé, "probablemente más números pares que los números impar son admisibles, ya que normalmente hay mucha simetría en una circunferencia (si el centro se encuentra en $ \mathbb {Z}^2$ por ejemplo)", lo cual es sólo una idea vaga, porque no lo he pensado bien. Así que empecé a pensar "quizás 5 no es admisible", pero luego encontré que los puntos $(8,8), (10,0), (0,10), (-1,-5)$ y $(-5,-1)$ son comaximales, así que $ \min\ {k:k \text { is admissible}\} \geq7 $ y eso es todo lo que tengo hasta ahora.
Sería genial si no existiera ese mínimo.
¡Salud!
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El conjunto de 5 puntos que sugerí que satisfacen las condiciones del problema eran incorrectos, aunque ahora he encontrado que el conjunto $ \mathcal {B}=\{(10,0),(0,10),(-5,-5),(-3,9),(9,-3)\}$ trabaja realmente con la relación $$(x- \frac {5}{4})^2+(y- \frac {5}{4})^2= \left ( \frac {25 \sqrt {2}}{4} \right )^2$$
