¿Cuántos ideales existen en este cociente de un anillo de polinomios?

Question

Que el anillo sea $A=k[x^2,x^3]$ donde $k$ es un campo. Sea $I$ sea el ideal generado por $x^4$ . Quiero demostrar que sólo hay un ideal en $A/I$ . Para ello consideré que en $k[x]$ los ideales que contienen $x^4$ son exactamente el ideal de potencia inferior de $x$ . Así que eso me deja las opciones de $(x^3), (x^2), (x)$ sino sólo el ideal de $(x^2)$ contiene $x^4$ en A. Así que el único ideal en $A/I$ es exactamente $(\bar{x^2})$ .

¿Es correcto este razonamiento/resultado? Gracias.

Answer 1

Estoy haciendo algo más que determinar los ideales de $A/I$ .

Tenga en cuenta que $A\cong k[y,z]/\langle y^3-z^2\rangle=:B$ mediante el isomorfismo de anillo $\varphi:B\to A$ enviando $y\mapsto x^2$ y $z\mapsto x^3$ . En $\varphi$ El ideal es $I$ de $A$ se asocia al ideal $\langle y^2,y^3-z^2\rangle/\langle y^3-z^2\rangle$ de $B$ . Es decir, $$A/I \cong k[y,z]/\langle y^2,y^3-z^2\rangle=:C\,,$$ que es un $4$ -espacio vectorial de dimensiones sobre $k$ con base $\{1,\bar{y},\bar{z},\bar{y}\bar{z}\}$ , donde $\bar{y}$ y $\bar{z}$ son las imágenes de $y$ y $z$ respectivamente, bajo la proyección canónica $k[y,z]\to k[y,z]/\langle y^2,y^3-z^2\rangle$ .

Observe que $\bar{y}^2=0$ y $\bar{z}^2=0$ en $C$ . Por lo tanto, $C$ es de hecho isomorfo como anillo a $$k[u,v]/\langle u^2,v^2\rangle\cong k[u]/\langle u^2\rangle \otimes k[v]/\langle v^2\rangle\,,$$ donde $\otimes$ es el producto tensorial de las álgebras sobre $k$ . Tenga en cuenta que $C$ tiene muchos ideales: el ideal cero $0$ Todo el anillo $C$ mismo, los ideales primitivos $\langle \bar{y}+\alpha\bar{z}+\beta \bar{y}\bar{z}\rangle$ con $\alpha,\beta \in k$ los ideales primitivos $\langle \bar{z}+\gamma \bar{y}\bar{z}\rangle$ con $\gamma\in k$ el ideal primitivo $\langle \bar{y}\bar{z}\rangle$ y el único ideal máximo $\langle \bar{y},\bar{z}\rangle$ . Si traducimos esta lista a ideales de $A/I$ entonces todos los ideales de $A/I$ son:

• ideales triviales: $0$ y $A/I$ ;
• ideales primitivos: $\langle \overline{x^2}+\alpha\overline{x^3}+\beta\overline{x^5}\rangle$ , $\langle \overline{x^3}+\gamma\overline{x^5}\rangle$ y $\langle \overline{x^5}\rangle$ , donde $\alpha,\beta,\gamma \in k$ ;
• ideal máximo: $\langle \overline{x^2},\overline{x^3}\rangle$ .

Aquí, $\overline{x^2}$ , $\overline{x^3}$ y $\overline{x^5}$ son las imágenes de $x^2$ , $x^3$ y $x^5$ bajo la proyección canónica $A\to A/I$ . Se puede decir que $A/I$ es un anillo local.