$q$ - series y formas modulares

Question

¿Hay una manera / base de datos tal que dada una forma modular

ps

con$$f(q) = \sum_{n}a_nq^n$,$q=\exp(2\pi i \tau)$ la mitad superior del plano, para encontrar si se puede escribir en términos de algunas formas modulares estándar como la función Dedekind eta o las funciones de Jacobi-theta o la serie Eisenstein.

O, ¿hay alguna forma / algoritmo / base de datos, etc. de modo que si la proporciono con una expansión de$\tau = \{ z \in \mathbb{C} | \Im(z)>0 \}$, pueda darme qué combinación de formas modulares "estándar" da la misma expansión?

Answer 1

Usted puede estar interesado en arXiv:1311.1460 "En los espacios de las formas modulares se extendió por eta-cocientes" por Jeremy Rouse y John Webb. Desde el resumen:

Se estudia el problema de la determinación de los niveles de $N$ para que el graduado de anillo de holomorphic formas modulares para $\,\Gamma_0(N)\,$ es generado por (holomorphic, respectivamente débilmente holomorphic) eta-cocientes de nivel $N$.

Desde Eisenstein serie puede ser expresada en términos de Jacobi theta-null funciones, y theta-null puede ser expresada en términos de Dedekind eta funciones, básicamente se está preguntando si las formas modulares pueden ser expresadas n términos de Dedekind eta funciones. En general, no, pero a veces, sí.

Como para la búsqueda de eta expresiones a partir de un número finito de $q$de la serie, no sé de ningún algoritmos, pero puede ser posible en algunos casos. Por ejemplo, supongamos que tenemos suficiente términos de la $q$-expansión de la serie de una función racional de $\, \eta(\tau), \dots, \eta(d\tau), \dots, \eta(N\tau) \,$ donde $\, d|N \,$ y dado el grado de la función racional. A continuación, es posible recuperar la función racional mediante la resolución de ecuaciones lineales utilizando un algoritmo general que se encuentra la posible algebraicas dependencias entre finito $q$de la serie.