¿Por qué no es la probabilidad de que Alice tenga clases todos los días de la semana $\dfrac{5\times \binom{5}{2}}{30\choose 7}$ ?

Question

Blitzstein Introducción a la probabilidad (2019 2 ed) Cap 1, Ejercicio 54, p 51.

Alice asiste a una pequeña universidad en la que cada clase se reúne sólo una vez a la semana. Está decidiendo entre $30$ clases no superpuestas. Existen $6$ clases a elegir para cada día de la semana, de lunes a viernes. Confiando en la benevolencia del azar, Alice decide matricularse en $7$ clases seleccionadas al azar entre las $30$ con todas las opciones igualmente probables. ¿Cuál es la probabilidad de que tenga clases todos los días, de lunes a viernes? $($ Este problema puede hacerse directamente utilizando la definición ingenua de probabilidad, o utilizando la inclusión-exclusión. $)$

Mi idea era asignar primero una clase a cada uno de los $5$ días, $6^5$ formas de hacerlo. A continuación, multiplique esto por la probabilidad de seleccionar permanecen $2$ clases tales que

$a)$ o ambos coinciden en el mismo día, o

$b)$ en dos días diferentes.

Probabilidad para $(a)= 5\times \binom{5}{2}$ . Prob. de $(b)=\binom{5}{2}\times 5$ . Esto da el número total de formas de asignar clases según sea necesario. A continuación, divídalo por $\binom{30}{7}$ $($ número total de formas de asignar clases aleatoriamente $)$ . Pero esto da una probabilidad mayor que $1$ . ¿En qué me equivoco? Todas las clases son igual de probables, y no creo que el proceso de elección siga el orden de los días.

Answer 1

Hay dos opciones:

1. Seleccione 2 días con dos clases y 3 días con una clase $$|A|=\binom{5}{2}\binom{6}{2}^2\binom{6}{1}^3=486000$$
2. Seleccione 1 día con tres clases y 4 días con una clase $$|B|=\binom{5}{1}\binom{6}{3}\binom{6}{1}^4=129600$$

Por supuesto $A\cap B = \emptyset$ y el alcance total de la selección $\Omega$ contiene $|\Omega|=\binom{30}{7}=2035800$ elementos. Así,

$$P = \frac{|A|+|B|}{|\Omega|} = \frac{615600}{2035800} \approx 0.3$$

Su intento

Te faltan algunos detalles.

Para seleccionar dos días con clases adicionales:

1. Seleccione una clase para cada día ( $6^5$ )
2. Seleccione dos días ( $\binom{5}{2}$ )
3. Seleccione clases adicionales para estos días ( $\binom{5}{1}^2$ )
4. Evite contar las situaciones varias veces dividiéndolo por el número de permutaciones posibles de la selección ( $(2!)^2$ )

Así que el número de distinto eventos en ese caso es $$|A|=\frac{6^5\binom{5}{2}\binom{5}{1}^2}{(2!)^2}$$

De forma análoga, podemos calcular el número de eventos distintos en caso de que seleccionemos sólo un día con tres clases (dividido por el número de posibles selecciones de clases en un día con tres clases como primera seleccionada ( $3$ )): $$|B|=\frac{6^5\binom{5}{1}\binom{5}{2}}{3}$$

Answer 2

Existen $\binom{24}{7}$ selecciones que evitan uno de los cinco días.

Existen $\binom{18}{7}$ selecciones que evitan dos de los cinco días.

Existen $\binom{12}{7}$ selecciones que están evitando tres de los cinco días.

El número de selecciones que evitan uno o más días es, por inclusión-exclusión :

$bad = 5\binom{24}{7} - 10 \binom{18}{7} + 10\binom{12}{7} - 0 + 0 = 1420200 $

$\frac {total - bad} {total} = \frac{615600}{2035800} \approx 0.30$

Answer 3

P 8 de la Selección de soluciones PDF de Blitzstein Introducción a la probabilidad (2019 2 ed) Cap 1, Ejercicio 54, p 51.

Esto puede hacerse por dos métodos.

Método directo

Método de inclusión-exclusión

Lets Comienza con

Método directo:- Hay dos formas generales de que Alicia tenga clase todos los días: o bien tiene $2$ días con $2$ clases y $3$ días con $1$ clase, o tiene $1$ día con $3$ clases, y tiene $1$ clase en cada una de las otras $4$ días. El número de posibilidades para el anterior es $\dbinom{5}{2}\dbinom{6}{2}6^3$ $($ elija el $2$ días en que tiene $2$ y, a continuación, seleccione $2$ clases en esos días y $1$ clase para los demás días $)$ El número de posibilidades de este último es $\dbinom{5}{1}\dbinom{6}{3}6^4$ . Por tanto, la probabilidad es $$\dfrac{\dbinom{5}{2}\dbinom{6}{2}6^3+\dbinom{5}{1}\dbinom{6}{3}6^4}{\dbinom{30}{7}}=\dfrac{114}{377}\approx0.302$$

Método de inclusión y exclusión Utilizaremos la inclusión-exclusión para hallar la probabilidad del complemento, que es el suceso de que ella tenga al menos un día sin clases.

Digamos $B_i=A^c_i.$ Entonces $$P(B_1\cup B_2....\cup B_5)=\sum _{ i }^{ > }{ P(B_ i)- } \sum _{ i<j }^{ }{ P(B_ i)-\sum _{ i<j }^{ }{ P(B_ > i\cap B_ j)+\sum _{ i<j<k }^{ }{ P(B_ i\cap B_ j\cap B_ k) } } } $$ Obsérvese que los términos con la intersección de $4$ o más $B_i$ no son ya que Alice debe tener clases en al menos $2$ días. Después tenemos $$P(B_1)=\dfrac{\dbinom{24}{7}}{\dbinom{30}{7}},P(B_1\cap > B_2)=\dfrac{\dbinom{18}{7}}{\dbinom{30}{7}},P(B_1\cap B_2\cap > B_3)=\dfrac{\dbinom{12}{7}}{\dbinom{30}{7}}$$ y de forma similar para los otras intersecciones. Así que $$P(B_1\cup B_2....\cup > B_5)=5\dfrac{\dbinom{24}{7}}{\dbinom{30}{7}}-\dbinom{5}{2}\dfrac{\dbinom{18}{7}}{\dbinom{30}{7}}+\dbinom{5}{3}\dfrac{\dbinom{12}{7}}{\dbinom{30}{7}}=\dfrac{263}{377}$$ Por lo tanto, $$P(A_1\cap A_2\cap A_3\cap A_4\cap > A_5)=\dfrac{114}{377}\approx0.302$$