¿Son los operadores de creación y aniquilación dependiente del tiempo?

Question

Algo que siempre me confunde al escuchar por primera vez acerca de la segunda cuantización fueron las dependencias de la creación y aniquilación de los operadores.

Por un lado he visto expresiones tales como $$ \hat{H} = \sum_k \epsilon_k\hat{a}^\dagger_k\hat{a}_k $$ que sólo representan la energía estática de un sistema, y por otro lado se puede describir electrón-electrón de dispersión mediante el hamiltoniano $$ \hat{H} = \sum_{k,k',q}V_q \hat{a}^\dagger_{k+q}\hat{a}^\dagger_{k'-q} \hat{a}_{k}\hat{a}_{k'}$$ lo que parece ser un dependiente del tiempo de proceso. Además, estoy confundido acerca de la imagen de estos operadores se utilizan en el puesto que uno puede "siempre" calcular no la ecuación de movimiento con el Heisenberg de la ecuación de movimiento (por ejemplo para el operador combinaciones tales como $\hat{a}_{k}^\dagger\hat{a}_{k'}$) $$ \frac{\partial}{\partial t} \hat{a}_{k}^\dagger\hat{a}_{k'} = \frac{i}{\hbar} \left[\hat{H}, \hat{a}_{k}^\dagger\hat{a}_{k'}\right]$$ No puedo envolver mi cabeza alrededor, ¿por qué esta dependencia del tiempo parece surgir de una aparente "estática" de hamilton.

Más confusión surge del hecho de que el operador de combinaciones tales como $\hat{a}_{k}^\dagger\hat{a}_{k'}$ parecen ser "instantánea", pero puede conducir a la complicada comportamiento del sistema (por ejemplo, oszillations en impulsada por dos a nivel de sistemas).

Answer 1

En Schrodinger imagen, siempre y cuando usted no tiene ninguna variable en el tiempo de los campos externos, la creación y la aniquilación de los operadores son independientes del tiempo como cualquier otro operador. En la imagen de Heisenberg, que debe ser dependiente del tiempo, como cualquier otro operador.

Este es físicamente intuitiva. La creación de operador en tiempo $t$ es $$a^\dagger(t) = e^{- i H t} a^\dagger(0) e^{i H t}$$ lo que significa que se crea una partícula en un tiempo de $t$ en el pasado, más que una partícula de la derecha ahora. Por ejemplo, en un oscilador armónico, los estados solo por fases, de modo que la presentación en un momento anterior solo cambia el resultado que se obtiene por una fase; por eso $a^\dagger(t)$ es sólo una fase veces $a^\dagger(0)$ no. En una interacción de la teoría del campo, donde la partícula se puede crear una caries o interactuar con otras partículas, $a^\dagger(t)$ sería una muy complicada combinación de creación y aniquilación de los operadores en el momento $t = 0$. Tan dramática dependencia del tiempo de la $a^\dagger(t)$ físicamente no es sorprendente; que significa que las cosas pueden suceder.

Hay un punto más confuso: en libre relativista, la teoría cuántica de campos, la creación y la aniquilación de los operadores en el momento de plazas de evolucionar a través de las fases. Es convencional para sacar estas fases en la definición del campo cuántico, $$\phi(x) = \int \frac{d\mathbf{p}}{(2\pi)^3 \sqrt{2 E_p}} (a_{\mathbf{p}} e^{-ipx} + a_{\mathbf{p}}^\dagger e^{ipx})$$ de manera que obtenemos de los factores de $e^{\pm ipx}$ donde $px = p^\mu x_\mu$ es manifiestamente invariante de Lorentz, y la creación y aniquilación de los operadores de aquí son sólo constante. Esto sigue siendo cierto incluso para una interacción de la teoría debido a que normalmente trabajamos en la interacción de la imagen, cuando todos los operadores se comportan como lo hacen en los libres de la teoría. Sin embargo, no creo que la mayoría nonrelativistic la teoría de campo (es decir, de la materia condensada) libros ello, así que ¡cuidado!

Answer 2

En primer lugar, incluso para el oscilador armónico simple annihilator y la creación de los operadores dependen de la posición del operador a fin de coordinar la dependencia no debería ser una sorpresa. Segunda cuantización se aplica a un campo cuántico. La configuración de campos en espacio-tiempo, es el grado de libertad en el sistema clásico y este se convierte en un operador. Este operador ha de transmitir el temporal y espacial de la dependencia de la configuración del campo, al menos, en la expectativa de valor de nivel. En otras palabras, la expectativa de valor del campo en un determinado estado proporciona información sobre la probabilidad de observar una determinada configuración.

Yo no entiendo por qué la comparación de los dos completamente distintas Hamiltonianos, uno aparentemente por el campo libre, y el otro para una interacción de campo (campo o en la presencia de alguna fuerza externa) produciría una contradicción aparente. La interacción puede causar que el sistema descrito por los operadores de ganar/perder energía y cambiar el estado. Es de suponer que, si la interacción es debido a otro campo con un conjunto correspondiente de los operadores, a continuación, en el sistema más grande algo que se conserva, la energía, la carga topológica, etc. Así que todo lo que está sucediendo es que el estado general está cambiando de tal manera que se preserven las leyes de conservación, como en un clásico de cuerpo duro de la colisión.

En cuanto a la representación, parece que estás en el impulso o la ocupación, el número de la representación y de la 4-coordinar la dependencia no es aparente en el k-espacio. Esto es un poco de una ventaja en la descripción del campo de la dinámica, más bien que tratar de dibujar una imagen que llena todo el espacio y tiempo que nos acaba de dibujar el k-espacio de representación de un mismo estado, que para los campos libres en un estado coherente es mucho más fácil. Hay un campo de versión de x y p. Como el p operador es la derivada con respecto a x, el campo p operador en la configuración de la representación de algún tipo de derivado con respecto a las configuraciones del campo (probablemente de un variacional derivados). Este operador se extiende sobre todos los valores de las coordenadas.

Como por tiempo dependiente de los operadores el tiempo total de derivados del operador es igual al colector de que el operador con el Hamiltoniano (que viene de la mecánica clásica Veneno entre paréntesis), además de la derivada parcial del operador con respecto al tiempo. Las medidas parciales "explícito" dependencia del tiempo. el tiempo total derivado de que el sistema puede ser distinto de cero, incluso sin una explícita dependencia del tiempo debido a que el tiempo implícito de la dependencia.