distinguido triángulos y cohomology

Question

Empezar con un abelian categoría y forma de la derivada de la categoría D(A). Tomar un triángulo (no necesariamente distinguido) y tomar la cohomology. Obtenemos una larga secuencia (no necesariamente exactos). Si el triángulo es distinguido es exacta. ¿Y a la inversa: si el largo de la secuencia en cohomology es exacto lo anterior se sigue que el triángulo se distingue? (Supongo que no, pero no puedo encontrar un contra-ejemplo).

Answer 1

Una propiedad importante de la que se derivan categoría es la que distingue los triángulos no sólo se producen a largo exacto de las secuencias en la cohomology. Si a -> B -> C -> a[1] es un exacto triángulo y E es otro objeto de la derivada de la categoría, luego de llegar de una larga secuencia exacta

... Hom(A[1],E) -> Hom(C,E) -> Hom(B,E) -> Hom(A,E) -> Hom(C[-1],E) -> ...

donde estos Hom-conjuntos son conjuntos de mapas en la derivada de la categoría.

Un particular contraejemplo es como sigue. Podemos ver cualquier grupo abelian como un complejo de cadena concentrado en grado cero. No es un distinguido triángulo de la siguiente manera:

ℤ -> ℤ -> ℤ/2 -> ℤ[1]

Sin embargo, podemos tomar el último mapa ℤ/2 -> ℤ[1] en la secuencia (que no es cero en la derivada de la categoría) y reemplazarlo con el cero mapa. Esto todavía nos da una larga secuencia exacta en la (co)homología de grupos. Sin embargo, si dejamos que E = ℤ/2, entonces la aplicación de mapas en la derivada de la categoría de nuestra nueva no distingue triángulo nos da la secuencia

... 0 -> Hom(ℤ/2,ℤ) -> Hom(ℤ,ℤ) -> Hom(ℤ,ℤ) -> Ext(ℤ/2,ℤ) -> 0 ...

donde el último mapa es inducida por el cero mapa de ℤ/2[-1] a ℤ, y así debe ser cero. Esta secuencia no puede ser exacta, y por lo tanto el nuevo triángulo no se distingue.

EDIT: UNA más sutil pregunta que esto sugiere es: "Supongamos que tengo un triángulo y, para cualquier dirección, la aplicación de Mapa(-,E) o Mapa(E,-) da una larga secuencia exacta. Es este un distinguido triángulo?"

La respuesta a esto es que en realidad todavía no. Aún teniendo en cuenta los complejos de la cadena de abelian grupos, tomar el distinguido triángulo

ℤ -> ℤ -> ℤ/3 -> ℤ[1]

donde yo voy a llamar al último mapa β (para Bockstein). Usted puede tomar este distinguido triángulo y reemplazar β con su negativa -β. El nuevo triángulo todavía induce a largo exacto de secuencias en google maps o mapas (debido a que los mapas en el triángulo que tiene el mismo kernel y la imagen). Sin embargo, como ejercicio demostrar que esto no puede ser un disntinguished triángulo porque no es isomorfo a la original distinguido triángulo.

Answer 2

Usted puede estar interesado en el papel: Vaknin A., Virtual Triángulos// K-Teoría, 22 (2001), no. 2, 161--197.

Answer 3

Yo sólo quería señalar que este fallo es bastante estándar en lugar de patológico. Como punto de partida se puede ir mal más general de Tyler señala. Por ejemplo, existen triángulos que dan mucho tiempo exacto secuencias en cualquier producto de la preservación de homológica functor a un [AB4*] abelian categoría en la que no se distinguen. En general, para una no contráctiles distinguido triángulo de los morfismos

X -> Y -> Z -> X[1]
|0 |0 | |0
v v v v
Y -> Z ->X[1]->Y[1]

donde no etiquetado vertical mapa se produce a través de [TR3] tendrá una asignación de cono que es un triángulo.

Más concretamente (bueno un poco) a lo largo de las líneas de Tyler ejemplos se puede considerar que K^b(Z)^{-} el delimitada homotopy categoría de abelian los grupos, pero sin su clase de distinguidos triángulos y declarar que un triángulo (u,v,w) (estos son los morfismos que ocurren en ella) en K^b(Z)^{-1} se distingue si y sólo si (-u,-v,-w) es un triángulo en K^b(Z) con su habitual y la triangulación. Esto hace K^b(Z)^{-1} un triangular categoría (de hecho, la colección de triángulos que buena homológica functors enviar a largo exacto de secuencias es muy bien portado y se puede probar un montón de la norma a hechos de tal generalidad), pero estas dos categorías no son triángulo equivalente.