¿Cuál es la probabilidad que $X<Y$ dado $\min(X,Y)$?

Question

¿Supongamos que $X$ y $Y$ son normal bivariada con media $\mu=(\mu_1,\mu2)$ y covarianza $\Sigma =\begin{bmatrix} \sigma{11} & \sigma{12} \ \sigma{12} & \sigma_{22} \ \end{bmatrix}$. What is the probability $\Pr\left (X

Answer 1

El uso de los poco más explícita la notación $P(X<Y|min(X, Y)=m)$ donde $m$ es un número real, no una variable aleatoria. El conjunto en el que $min(X,Y) = m$ es una forma de L camino con dos semi-abierta segmentos: el que va hacia arriba desde el punto de $(m,m)$ y el otro va directamente a la derecha de este mismo punto. Es claro que en la vertical de la pierna, $x<y$ y en el tramo horizontal $x>y$.

Dada esta intuición geométrica es fácil volver a escribir el problema en una forma equivalente, donde en el numerador sólo tenemos la vertical de la pierna donde $x<y$ y en el denominador tenemos la suma de las dos piernas.

$P(X<Y|min(X, Y)) = \frac{ \displaystyle P(m<Y|X=m) }{ \displaystyle P(m<Y|X=m) + P(m<X|Y=m) } \tag{1}$

Así que ahora tenemos que calcular dos expresiones de la forma $P(m<X|Y=m)$. Tales probabilidades condicionales de la distribución normal bivariante siempre tiene una distribución normal $\mathcal{N}(\mu_{X|Y=m}, s^2_{X|Y=m})$ con los parámetros:

$\mu_{X|Y=m} = \mu_1+\frac{\displaystyle \sigma_{12}}{\displaystyle \sigma_{22}}({m}-\mu_2) \tag{2}$

$s^2_{X|Y=m} = \sigma_{11}-\frac{\displaystyle \sigma_{12}^2}{\displaystyle \sigma_{22}} \etiqueta{3} $

Tenga en cuenta que en el original de la definición del problema, $\sigma_{ij}$ se refiere a los elementos de la matriz de covarianza, contrario a la más común la convención de utilizar el $\sigma$ para la desviación estándar. A continuación, vamos a encontrar que es más conveniente el uso de $s^2$ de la varianza y $s$ para la desviación estándar de la distribución de probabilidad condicional.

Conociendo estos dos parámetros, se puede calcular la probabilidad de $m<X$ a partir de la función de distribución acumulativa.

$P(m<X|Y=m) = \Phi \big(\frac{\displaystyle \mu_{X;Y=m} -m}{\displaystyle s_{X;Y=m}} \big) \tag{4}$

mutatis mutandis, tenemos una expresión similar para $P(Y>m|X=m)$. Vamos

$ z_{X|Y=m} = \frac{\displaystyle \mu_{X;Y=m} - m}{\displaystyle s_{X;Y=m}} \tag{5} $

y

$ z_{Y|X=m} = \frac{\displaystyle \mu_{Y;X=m} -m}{\displaystyle s_{Y;X=m}} \tag{6} $

Entonces podemos escribir la solución completa y compacta en términos de estas dos $z$ los resultados:

$ P(X<Y|min(X, Y)=m) = 1 - \frac{ \displaystyle \Phi(z_{X|Y=m}) }{ \displaystyle \Phi(z_{X|Y=m})+\Phi(z_{Y|X=m}) } \etiqueta{7}$

Basados en la simulación de código proporcionado por la cuestión de autor, podemos comparar este resultado teórico a los resultados de la simulación: