Deje que$P(x)\in \mathbb{R}[x]$ sea de grado$n$ y para cualquier$x \in \left(0,1\right]$, tenemos$x\cdot P^2(x) \le 1$. Calcular$\max P(0)$.

Question

Permita que$P(x)$ sea un polinomio con coeficiente real y con grado$n$ tal que para cualquier$x \in \left(0,1\right]$, tenemos$$x\cdot P^2(x) \le 1$$ Find the maximum of $ P (0) $.

Nota: $P^2(x) = (P(x))^2$. Alguna idea de como empezar?

Supongo que podemos escribir$P(x) = xQ(x)+c$ y conectar eso a la desigualdad y tratar de decir algo sobre$c$. ¿Pero entonces qué?

Answer 1

Deje $x=\sin^2(\theta)$. Entonces, como

$$x=\frac{1-\cos(2\theta)}{2},$$

podemos escribir $x^k$ en términos de $\cos(2\theta),\cos(4\theta),\cdots,\cos(2k\theta)$, por lo que podemos escribir

$$P(x)=\sum_{k=0}^n a_k\cos(2k\theta).$$

Necesitamos

$$|P(x)\sin(\theta)|\leq 1$$

para todos los $\theta$, y vemos que $P(0)=\sum_{k=0}^n a_k$. Reivindicamos el valor máximo de esta cantidad se alcanza con $a_k=2$ todas partes, excepto $a_0=1$. En primer lugar, vemos que esto realmente funciona:

\begin{align}P(x)\sin(\theta) &= \sum_{k=-n}^n \cos(2k\theta)\sin(\theta)\\ &=\frac{1}{2}\sum_{k=-n}^n \big(\sin((2k+1)\theta)-\sin((2k-1)\theta)\big)\\ &=\frac{1}{2}\big[\sin((2n+1)\theta)-\sin((-2n-1)\theta)\big]\\ &=\sin((2n+1)\theta),\end{align}

que, obviamente, tiene magnitud $\leq 1$. Por otro lado, consideremos el polinomio

$$Q(x)=(x+1)P\left(\frac{x+1}{2}\right)^2-1$$

de grado $2n+1$. Para $-1\leq x\leq 1$, tenemos

$$0\leq \frac{Q(x)+1}{2}\leq 1 \implies |Q(x)|\leq 1,$$

así que por el de Markov de los hermanos de la desigualdad tenemos

$$Q'(-1)\leq \max_{-1\leq x\leq 1}|Q'(x)|\leq (2n+1)^2\max_{-1\leq x\leq 1}|Q(x)|\leq (2n+1)^2.$$

Finalmente, vemos

$$Q'(x)=(x+1)\frac{1}{2}\left[2P\left(\frac{x+1}{2}\right)P'\left(\frac{x+1}{2}\right)\right]+P\left(\frac{x+1}{2}\right)^2.$$

$$Q'(-1)=P(0)^2,$$

así

$$P(0)^2\leq (2n+1)^2 \implies P(0)\leq 2n+1,$$

el acabado de la prueba.