¿Encontrar soluciones generales a 2 ecuaciones diferenciales de orden, estoy en el camino correcto?

Question

Estoy estudiando Ecuaciones Diferenciales, y estoy trabajando en averiguar cómo resolver mediante Coeficientes Indeterminados. Estamos seguros de que en el examen sólo deberemos resolver ecuaciones con una de 2º orden en la mayoría de los. Dicho esto, estoy tratando de averiguar lo que mi general soluciones para cada combinación posible de las raíces.

He leído a través de un montón de muy detallado generalizada de soluciones generales, que estoy teniendo un montón de problemas para realmente comprender. Esto es lo que yo he tomado de ellos.

Dos Raíces Reales (no se repiten)
$$ Y_c = c_1e^{m_1x}+c_2e^{m_2x} $$ Repite Las Raíces Reales
$$ Y_c = c_1e^{x}+c_2xe^{x} $$ De Raíces imaginarias (estoy muy perdido en esto)
$$ Y_c = c_1\cos+c_2\pecado $$

Mi Pregunta es esta: Estoy en la pista de la derecha con los dos primeros? ¿Qué estoy haciendo mal con el último?

*[Estamos usando Dennis G Zill de Un Primer Curso de Ecuaciones Diferenciales]*

Answer 1

Sí, usted está bien en el primero de los casos.

Para el segundo, una pequeña corrección. Si la raíz si $m_1$ (es un doble de la raíz), entonces $$Y_c=c_1e^{m_1 x}+c_2xe^{m_1 x}.$$ (Lo dejó fuera de la $m_1$ para la raíz.)

En cuanto a la tercera:

Cuando usted tiene un par complejo conjugado de raíces,$\alpha\pm\beta i$: a Continuación, obtenemos $$e^{(\alpha+\beta i)x}=e^{\alpha x}e^{\beta i x}=e^{\alpha x}[\cos(\beta x)+i\sin(\beta x)].$$

Ahora usted puede mostrar que si te dan una solución compleja para un real, lineal educación a distancia, a continuación, las partes real e imaginaria de que la solución son las soluciones reales de que la educación a distancia. Por lo tanto, obtenemos $e^{\alpha x}\cos(\beta x)$ $e^{\alpha x}\sin(\beta x)$ como de las soluciones que buscamos. Por otra parte, son linealmente independientes, ya que su Wronskian es distinto de cero. Por lo tanto, $$ Y_c(x)=c_1e^{\alpha x}\cos(\beta x)+c_2e^{\alpha x}\sin(\beta x). $$

PS Si usted repita el proceso anterior para $\alpha-\beta i$ $Y_c$ consigue no ser diferente de la anterior, excepto por el signo de una de las constantes en la parte delantera, pero los constantes arbitrarias por lo que ganamos nada nuevo. El $Y_c$ clasifica por encima de lo que sucede en el complejo conjugado par de raíces caso.

Answer 2

Usted está correcto en la primera: si $m_1$ y $m_2$ son distintas raíces, entonces una solución general es $$Y_c = c_1 e^{m_1 x} + c_2 e^{m_2 x}$ $ para el caso de raíces repetidas $m$, sin embargo, debe ser % $ $$ Y_c = c_1 e^{mx} + c_2 x e^{mx}$$a \pm i b$de raíces complejas, debe ser %#% $ #%