Pruebalo $\gcd({n \choose i},{n \choose j})>1,~1<i,j<n$

Question

Pruebalo $\gcd({n \choose i},{n \choose j})>1,~0<i,j<n$

Mi trabajo:
Intenté expandir$n \choose i$ y$n \choose j$ para encontrar que hay un número que divide ambos y, después de la división, los números aún son enteros, pero no pude probar que sean enteros. Por favor ayuda.

Answer 1

Sugerencia: supongamos que su mayor divisor común es$1$. Entonces la fracción$$\frac{{n\choose j}}{{n\choose i}}$ $ se escribe en los términos más bajos.

Por otro lado, esta fracción también se puede escribir como$$\frac{{n-i\choose n-j}}{{j\choose i}}\ldots$ $