Cómo probar para cualquier$k$ luego tener$a^2_{1}+a^2_{2}+a^2_{3}+\cdots+a^2_{k}=m^3$

Question

para cualquier entero positivo$k$, exsit$m\in N$ y$a_{i}\in N,i=1,2,\cdots,k$, tal

(1):$a_{i}\neq a_{j},i\forall i\neq j$,

(2):$$a^2_{1}+a^2_{2}+a^2_{3}+\cdots+a^2_{k}=m^3$ $

Mi idea: si$k=1$, dejamos que$a_{1}=1$, luego$$a^2_{1}=1^3=m^3$ $ si$k=2$, luego dejamos$a_{1}=5,a_{2}=10$, entonces tenemos$$a^2_{1}+a^2_{2}=5^2+10^2=125=5^3=m^3$ $ if$k=3$, note$$3^2+4^2+10^2=125=5^3$ $ then let$a_{1}=3,a_{2}=4,a_{3}=10,m=5$

Pero sigue, no puedo encontrarlo y cómo probar este problema, gracias

Answer 1

Deje$1^2+2^2+\cdots+k^2=m$ y multiplique por$m^2.$%

Answer 2

(Edit: le Dio una respuesta más general.)

En realidad, se sabe que puede no trivial de resolver la ecuación,

$$a_1^2+a_2^2+a_3^2+\dots+a_n^2 = (b_1^2+b_2^2+b_3^2+\dots+b_n^2)^k\tag1$$

para cualquier entero positivo $k$, pero el $a_i$ (con la excepción de $a_1$) tienen un factor común. Si desea que el $a_i$ generalmente no tienen un factor común, entonces usted puede hacerlo por $k=4m+3$. Para el caso más simple $k=3$,,

$$x_1^2+x_2^2+x_3^2+\dots+x_n^2 = (y_1^2+y_2^2+y_3^2+\dots+y_n^2)^3\tag2$$

donde el$x_i$,

$$x_1 = p y_1-q y_2,\quad x_2 = p y_2-q y_3,\quad x_3 = p y_3-q y_4,\quad\dots\quad x_n = p y_n-q y_1$$

y,

$$p = y_1^2+y_2^2+y_3^2+\dots+y_n^2$$

$$q = 2(y_1y_2+y_2y_3+y_3y_4+\dots+y_ny_1)$$

para $n$ libre de las variables de $y_i$. Confío en que el patrón de la $x_i$ está claro?

(No es un proceso iterativo que genera el otro $k=4m+3$, pero es demasiado tedioso de explicar aquí, así que nos limitaremos a dar un ejemplo numérico.)

Para $n=4$, vamos a la $y_i$ ser los cuatro primos $y_i = 2,11,13,17$. Así que nos ponemos,

$$\begin{aligned} &583 = 2^2+11^2+13^2+17^2\\ &583^3 = 4507^2+8074^2+6701^2+8231^2\\ &583^7 = 2063328403^2+187823746^2+2402985509^2+3581180761^2\\ &583^{11} = 28216171649227^2+1234758982541722^2+745071137544115^2+751004146893527^2 \end{aligned}$$

Si podemos cambiar las $y_i$, obtenemos diferentes sumandos $x_i$, pero la misma suma,

$$\begin{aligned} &583 = 2^2+11^2+17^2+13^2\\ &583^3 = 8866^2+9091^2+1945^2+5755^2\\ &583^7 = 951019982^2+798185251^2+3073066009^2+3450583061^2\\ &583^{11} = 434781267760906^2+434087631430181^2+1271549279992223^2+806386837663771^2 \end{aligned}$$

y así sucesivamente. Se puede comprobar que los sumandos no tienen un factor común. Bonito, ¿eh?