Mapa de evaluación del isomorfismo de gavillas invertibles

Question

Permitir$(X, \mathcal{O}_X)$ espacio anillado,$\mathcal{F}, \mathcal{G}$ roldanas invertibles en$X$ y$\underline{Hom}_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F},\mathcal{G}) $ the$Hom$ - sheaf.

Siempre se da el mapa de evaluación canónica$\mathcal{F} \otimes \underline{Hom}_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F},\mathcal{G}) \to \mathcal{G}$.

Mi pregunta es cómo demostrar que este mapa es un isomorfismo.

Answer 1

Esto es debido a que tenemos un isomorfismo canónico $Hom_{O_X}(F, G) \cong Hom_{O_X}(F,O_X) \otimes G$ $F,G$ invertible poleas en $X$ si $X$ es noetherian que estoy asumiendo. (Esto es al $X$ es noetherian, $F$ es localmente libre y $G$ coherente).

En virtud de este isomorfismo desea comprobar que el mapa de $$ F \otimes Hom_{O_X}(F,O_X) \otimes G \to G $$

es un isomorfismo. Este mapa es el compuesto de $\text{ev}_F \otimes id_G : F \otimes Hom_{O_X}(F,O_X) \otimes G \to O_X \otimes G$, la evaluación del mapa de la tensored con $id_G$, y el multplication mapa de $O_X \otimes G \to G$. Ambos mapas son isomorphisms por lo que obtener un isomorfismo. Espero te sirva de ayuda.