Una pregunta acerca de los números enteros.

Question

Deje $a,b,c$ ser entero positivo,y $\cfrac{a}{b}+\cfrac{b}{c}+\cfrac{c}{a}$ $\cfrac{b}{a}+\cfrac{c}{b}+\cfrac{a}{c}$ son enteros, cómo mostrar el $a=b=c$?

Answer 1

Si ellos no son todos iguales, debe haber alguna prime $p$ tal $a = p^i A$, $b = p^j B$, $c = p^k C$ donde $A,B,C$ son cada coprime a $p$ $i,j,k$ son números enteros no negativos que no son todos iguales. Sin pérdida de generalidad $i \le j \le k$ (de lo contrario permutar $a$, $b$, $c$ adecuadamente) y $i < k$.
A continuación, $ b/a + c/b + a/c$ $p^{k-i}$ en su denominador, y no puede ser un número entero.

Answer 2

Deje $a/b$=x, $b/c$=y $c/a$=z

$x+y+z=k$ ()

$1/x$+$1/y$+$1/z$ = q

$(yz+zx+xy)$/xyz=p

Por AM-GM de la desigualdad,

(yz+zx+xy)>= 3xyz.

La igualdad tiene cuando todos los de la em son iguales(Como la ecuación dada es una de integr) x=y=z, lo Que implica a=b=c.