Mi profesor de matemáticas me ha pedido encontrar el derivado del th $n$ $\cos^9(x)$. Nos dio una pista que son como sigue: Si $t=\cos x + i\sin x$, $1/t=\cos x - i\sin x$, entonces el $2\cos x=(t+1/t)$.
¿Cómo voy a solucionar esto? Por favor me ayude con las explicaciones porque no soy buena en esto. Y sí nos ha enseñado Teorema de Leibniz. Gracias.
De Moivre nos enseñó eso si $t=\cos x + i\sin x$ y $t^n = \cos(nx) + i\sin(nx)$ y $t^{-n} = \cos(nx) - i\sin(nx)$ tan $$ t ^ n + \frac 1 {t ^ n} = 2\cos(nx). $$
Dejar que $s=1/t$, entonces, tenemos\begin{align} & (2\cos x)^9 =(t+s)^9 \[10pt] = {} & t^9 + 9t^8 s + 36t^7 s^2 + 84 t^6 s^3 + 126 t^5 s^4 + 126 t^4 s^5 + 84 t^3 s^6 + 36 t^2 s^7 + 9 t s^8 + s^9 \ & {}\qquad \text{(binomial theorem)} \[10pt] = {} & t^9 + 9t^7 + 36 t^5 + 84 t^3 + 126 t + 126 \frac 1 t + 84 \frac 1 {t^3} + 36 \frac 1 {t^5} + 9 \frac 1 {t^7} + \frac 1 {t^9} \[10pt] = {} & \left( t^9 + \frac 1 {t^9} \right) + 9\left( t^7 + \frac 1 {t^7} \right) + 36\left( t^5 + \frac 1 {t^5} \right) + 84 \left( t^3 + \frac 1 {t^3} \right) + 126\left( t + \frac 1 t \right) \[10pt] = {} & 2\cos(9x) + 18 \cos(7x) + 72\cos(5x) + 168\cos(3x) + 252\cos x. \end {Alinee el}
Ahora encontrar la primera, segunda, tercera, etc. derivados y ver si hay un patrón que continúa cada vez distingue una vez más.
Con su toque, llegas\begin{align} [\cos x]^9 &= \left[ \frac12 \left( t + \frac1t \right) \right]^9 \ &= \frac{1}{2^9} \sum{k=0}^9 {9 \choose k} (t)^k \left( \frac1t \right)^{9-k} \ &= \frac{1}{2^9} \sum{k=0}^9 {9 \choose k} t^{2k-9}. \tag{1} \end{align}, $$ \frac{dt}{dx} = - \sin x + \cos x = i (\cos x + \sin x) =; $$, $$ \Frac{d}{dx} t ^ n = n ^ {n-1} (it) = en t ^ n; $$ sigue que \frac{d^N}{dx^N $$} t ^ n = (en) ^ N t ^ n. $$ aplicando esto (1)\begin{align} \frac{d^N}{dx^N} [\cos x]^9 &= \frac{d^N}{dx^N} \frac{1}{2^9} \sum{k=0}^9 {9 \choose k} t^{2k-9} \ &= \frac{1}{2^9} \sum{k=0}^9 {9 \choose k} \frac{d^N}{dx^N} t^{2k-9} \ &= \frac{1}{2^9} \sum{k=0}^9 {9 \choose k} (2k-9)^N i^N t^{2k-9} \ &= \frac{1}{2^{10}} \left[ \sum{k=0}^9 {9 \choose k} (2k-9)^N i^N t^{2k-9} + \sum{k=0}^9 {9 \choose {9-k}} (2(9-k)-9)^N i^N t^{2(9-k)-9} \right] \ &= \frac{1}{2^{10}} \left[ \sum{k=0}^9 {9 \choose k} \left( (2k-9)^N i^N t^{2k-9} + (9-2k)^N i^N t^{9-2k} \right) \right] \ &= \frac{1}{2^{10}} \left[ \sum{k=0}^9 {9 \choose k} (2k-9)^N i^N \left( t^{2k-9} + (-1)^N t^{9-2k} \right) \right] \ &= \begin{cases} \frac{1}{2^9} \sum{k=0}^9 {9 \choose k} (2k-9)^N i^N \cos((2k-9)x) &N \text{ even} \ \frac{1}{2^9} \sum{k=0}^9 {9 \choose k} (2k-9)^N i^{N+1} \sin((2k-9)x) &N \text{ odd} \ \end{casos} \ & =\begin{cases} \frac{1}{2^9} \sum{k=0}^9 {9 \choose k} (2k-9)^N (-1)^{N/2} \cos((2k-9)x) &N \text{ even} \ \frac{1}{2^9} \sum_{k=0}^9 {9 \choose k} (2k-9)^N (-1)^{(N+1)/2} \sin((2k-9)x) &N \text{ odd}. \ \end{casos} \end{align}
El truco es descomponer $\cos^9(x)$ en su serie de Fourier, es decir, una combinación lineal de $\cos(kx)$ $\sin(kx)$ términos, que sabemos cómo derivar $N$ veces.
El uso de la sugerencia y el Binomio desarrollo (fila $9$ de triángulo de Pascal), $$\cos^9(x)=\left(\frac{t+t^{-1}}2\right)^9\\ =\frac{t^9+t^{-9}+9(t^7+t^{-7})+36(t^5+t^{-5})+84(t^3+t^{-3})+126(t+t^{-1})}{512}\\ =\frac{\cos(9 x)+9\cos(7x)+36\cos(5x)+84\cos(3x)+126\cos(x)}{256}.$$
Ahora que los derivados de la $\cos(kx)$ $$\cos(kx),-k\sin(kx),-k^2\cos(kx),k^3\sin(kx),k^4\cos(kx)\cdots$$
por lo tanto
$$\frac{9^Ng_N(9x)+9\cdot7^Ng_N(7x)+36\cdot5^Ng_N(5x)+84\cdot3^Ng_N(3x)+126g_N(x)}{256}$$
donde$g_N(x)$$\cos(x),-\sin(x),-\cos(x),\sin(x)$, dependiendo de la $N\bmod 4$.
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
