$\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{3}{n}\right)^\frac{n}{2}$

Question

Estoy tratando de resolver esto al número $e$ . Sin embargo, me gustaría hacerlo de la forma más sencilla. sólo una nota Ya he probado wolfram pero me gustaría que alguien me diera una solución más sencilla.

$$\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{3}{n}\right)^\frac{n}{2}$$

Gracias,

Answer 1

Pista:

$$\left(1+\frac3n\right)^{n/2}=\left[\left(1+\frac3n\right)^n\right]^{1/2}$$

Answer 2

Utiliza el hecho de que:

$$\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac kn\right)^n = e^k$$

Así que tenemos:

$$\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac 3n\right)^\frac n2 = e^{\frac 32}$$

Answer 3

Una respuesta que sólo utilice la definición de $e$ : $$\left(1 + \frac{3}{n}\right)^{n/2} = \left(1 + \frac{1}{n/3}\right)^{(n/3)*(3/2)} = \left[\left(1 + \frac{1}{n/3}\right)^{n/3}\right]^{3/2} \stackrel{(m = \frac{n}{3})}{=} \left[\left(1 + \frac{1}{m}\right)^{m}\right]^{3/2} \to e^{3/2}$$

Answer 4

Puedes ir por aquí

$$ e^{n/2\ln(1+3/n)}=e^{n/2( 3/n-3^2/n^2+\dots )}\longrightarrow_{n\to \infty}\dots\,. $$

Answer 5

Pista: $$\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{x}{n})^n = e^x$$