Las secciones del % de proyección $\bigsqcup_{i:I} X_i \rightarrow I.$

Question

Acabo de darme cuenta de algo funky. Deje $X$ denotar una $I$-familia indizada de conjuntos. Hay una proyección $$\pi_X: \bigsqcup_{i:I} X_i \rightarrow I.$$ It isn't necessarily surjective, of course, because one or more of the $X_i$ may be empty. Anyway, I noticed that the set $\prod_{i:I} X_i$ can be identified with the set of sections of $\pi_X$; that is, with the set of all $m : I \rightarrow \bigsqcup_{i:I} X_i$ satisfying $\pi_X \circ m = \mathrm{id}_I$.

Esto es intuitivamente obvio y probablemente sencillo de probar. No obstante, considero que la existencia de este tipo de una conexión entre los productos y co-productos a ser bastante sorprendente.

Pregunta. Me gustaría un poco "contexto intelectual" para estas observaciones.

Por ejemplo, estoy interesado en: relacionados con los hechos, generalizaciones naturales, importantes consecuencias, aplicaciones interesantes, etc.

Básicamente, me gustaría que alguien a hacer aquí lo que he intentado hacer para el OP aquí.

Answer 1

Deje $C$ ser una categoría que contiene un final objetos, productos y co-productos, ya sea finito o arbitrarias. Deje $1$ denotar el objeto final. Para $A$ un objeto de $C$, el espacio de $Hom(1, A)$ a menudo son llamados los elementos de $A$. La razón para esto puede ser explicado de la siguiente manera, si hay un adjuction $C\to Set$ que es un olvidadizo funtor que conserva los productos (al menos el vacío) ha $A=Hom_{set}(*, A)=Hom_C(1, A)$. Consideremos ahora una colección de objetos, $X_i$, $C$ indexados por $I$, el mapa de $\coprod_i X_i\to \coprod_i 1$ tomando el único mapa final. Una sección es una retracción de este mapa. En este caso sería, por definición de subproducto, consisten en una secuencia de elementos de cada una de las $X_i$, en el anterior sentido. Pero esto es exactamente los datos necesarios para dar un mapa en el producto de la $X_i$, equivalente a un elemento. Esto generaliza su observación en el caso de que $C=Set$.

Aparte de eso no estoy seguro de en qué dirección desea?

No creo que esto se generaliza mucho en el sentido de las categorías, al menos no en el sentido ingenuo. Caso y punto, una colección de objetos indexados por $I$ es equivalente a un diagrama de $I\to C$ donde $I$ es visto como una categoría discreta. El producto es el límite de este diagrama y el subproducto de la colimit, así que vamos a empezar a trabajar con un arbitrarias de indexación categoría $D$. Ahora, la constante diagrama de final de los objetos es también la final en la categoría de $Hom_{cat}(D, C)$, por lo que tenemos un inducida por el diagrama anterior, lo que induce una de morfismos de la colimits de estos diagramas. Para fijar la notación tome $f:D\to C$ $1:D\to C$ un arbitrarias diagrama y el final de una respectivly. Las propiedades del objeto final implica $colim(1)=\coprod_{\pi_0(D)}1$, y dado que ya hemos tratado con el desconectado caso, vamos a suponer que $\pi_0(D)=0$ por ahora. Entonces tenemos que las secciones de $colim(f)\to 1$ son los mismos como elementos de $colim(f)$. Esto casi nunca es en bijection con elementos de $lim(f)$.

Aunque podemos ir en una dirección diferente. Para empezar a tomar $I$ un conjunto de índices, $X_i, Y_i$ dos colecciones de objetos con morfismos $X_i\to Y_i$. A continuación, las secciones están claramente en natural bijection con el producto de las secciones de los mapas originales $X_i\to Y_i$. Esto encaja como un ejemplo trivial de resolver un levantamiento problema reduciendo, lo cual es útil cuando usted tiene una filtración de su objeto y puede inductivly levante por la obtención de un elemento en cada uno de los "obstuction grupo". Es decir, si tenemos una filtración $F_i$ de un objeto $X$, y estamos tratando de construir una sección de $Y\to X$, primero debemos tratar de construir en cada una de las $F_i$ inductivly. La trágica historia acerca de esto, sin embargo, es que en lugar de un producto, se ussally obtener una secuencia espectral, que degenera en el caso trivial. Ejemplos clave son la Homotopy espectral sequeunce y la Bousfield-Kan espectral sequeunce que funcionan bien en simplicial conjuntos, aunque este es un poco lejos.