Expresar los siguientes números complejos en forma de $a+bi$

Question

Yo estoy luchando con los siguientes ejercicios:

Traté de usar el razonamiento de la siguiente manera:

$$(a+bi)^n=(re^{\theta i})^n=r^ne^{\theta in}=r^n(\cos(\theta n)+i\sin(\theta n))$$

Así que para el primero que hice:

$$2^{1/6}(\cos(-\frac{\pi}{3} \cdot \frac{1}{6})+i\sin(-\frac{\pi}{3} \cdot \frac{1}{6}))$$

Pero me da un decimal solución, por eso no estoy seguro acerca de la solución.

Y para el segundo, yo estaba intentando hacer lo mismo, pero cuando yo estaba calculando $r$$(1+\sqrt{-3}i)^{50}$, es decir, el módulo del número complejo:

$$r=\sqrt{1^2+(\sqrt{-3})^2}=\sqrt{1-3}$$

que no existe.

Alguna idea? Gracias.

Answer 1

La primera de ellas es correcta. $a$ y $b$ pueden ser números decimales, no se preocupe...

Para el segundo, suponiendo que no es un error del autor de la pregunta, entonces $\sqrt{-3}$ puede ser interpretado como $i\sqrt{3}$ desde $(i\sqrt{3})^2 = -3$. Así $1+\sqrt{-3}i = 1 + i\sqrt{3}.i = 1-\sqrt{3}$ que es real.

Answer 2

Podemos calcular la norma de $z$ de esta manera:

$|z|^6=|z^6|=|1-\sqrt{3}i|=2$ , por lo que usted tiene que

$|z|= 2^\frac{1}{6}$

Ahora usted puede definir $y:= \frac{z}{2^\frac{1}{6}}$ y, a continuación,

1. $|y|=1$

2. $y^6=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$

Usted puede escribir $y$ trigonométricas de la forma:

$y=cos(\theta)+i sin(\theta)$

y así

$\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i =y^6=cos(6\theta)+i sin(6\theta)$

Entonces usted tiene que imponer las condiciones:

$cos(6\theta)=\frac{1}{2}$

$sin(6\theta)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$

y la solución es

$\theta=\frac{-\pi}{36}+\frac{k\pi}{3}$ para $k\in\{-1,-2,0,1,2,3\}$

por ejemplo, para $k=0$ tienes que

$y=cos(\frac{\pi}{36})-i sin(\frac{\pi}{36})$

y así

$z=2^{\frac{1}{6}}(cos(\frac{\pi}{36})-i sin(\frac{\pi}{36}))$

Para el segundo

$(1+\sqrt{-3}i)^{50}=(1-\sqrt{3})^{50}=c$ que es un número real

$(1+i)^{100}=2^{50}(cos(\frac{100\pi}{4})+ i sin(\frac{100\pi}{4}))=$

$ 2^{50}(-1+ i 0)=-2^{50}$

Por lo que el número es real y es

$-\frac{1}{c}2^{50}$