Faltan valores de la proporción$\frac{(x+y+z)^2}{x^2+y^2+z^2}$

Question

Deje$x,y,z$ algunos enteros positivos. ¿Es cierto que no podemos encontrar ningún entero positivo$n$ para el cual $$ \ frac {(x + y + z) ^ 2} {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2} = 1 + \ frac {2} {3n} \, \ ,? $$

Answer 1

Suponiendo que el resultado para los más pequeños de $x+y+z$, es inductiva cierto en el caso de que alguno de $x,y,z$ es divisible por 3; esta respuesta es un trabajo en progreso.

Ampliar y simplificar para obtener:

$$\frac{xy+yz+xz}{x^2+y^2+z^2} = \frac{1}{3n}$$

o, equivalentemente,

$$3n(xy+yz+zx) = x^2+y^2+z^2$$

Pero la única manera de que una suma de tres cuadrados puede ser un múltiplo de 3 es si todos ellos son múltiplos de 3 o todos ellos no son múltiplos de 3.

Primer caso: escrito $x=3i, y=3j, z=3k$ obtenemos

$$3n(ij+jk+ki) = i^2+j^2+k^2$$

Hemos terminado por hipótesis inductiva: dado cualquier solución que se puede hacer estrictamente una solución más pequeña, pero hemos asumido para la inducción de que no hay solución más pequeña que existe. Por lo tanto, la única solución puede ser $x=y=z=0$, lo cual está fuera del rango permisible.