Encontrar todos los enteros $a,b$ tal que $\frac{b^{b} +b}{a\cdot b^2 +9}$ es un número entero.

Question

Encontrar todos los enteros $a,b$ tal que $$\frac{b^{b} +b}{a\cdot b^2 +9}$$ es un número entero.

Traté de separar $a$, pero parece inútil.

Answer 1

Aquí es una solución parcial:

• $\forall{n\in\mathbb{N}}:a=0,b=18n$
• $\forall{n\in\mathbb{N}}:a=0,b=18n+8$
• $\forall{n\in\mathbb{N}}:a=0,b=18n+9$
• $\forall{n\in\mathbb{N}}:a=9,b=36n+27$

Answer 2

@AyanBiswas, me fijo $a=9$ $b=9(4k-1)$ donde $k \in \mathbb{Z}^+$ obras. La sustitución de ellos, que han logrado reducir a:

$$ \frac{9\,(4k-1)\,[(9(4k-1))^{2(18k-5)} + 1^2]}{9[(9(4k-1))^2 + 1^2]}$$

Usted puede cancelar fácilmente la $9$'s. Y creo que el último término del numerador es divisible por el último término del denominador. No sé cómo demostrar que, pero estoy seguro de que tiene desde que me encontré con que la identidad hace algún tiempo. Estoy pegando el Wolfram Alpha enlace que demuestra que es cierto para el primer $10\,k$. Esperanza usted encuentra útil. Así que hay infinitas soluciones de la forma $a=9$ $b=9(4k-1)$ y sería imposible encontrar todas las $b$'s. Esperanza usted encuentra útil.

Por favor comente si usted encuentra cualquier lagunas.