El mayor grado posible de un polinomio dado una condición

Question

Que $P(x) \in R[x]$ ser un polinomio con coeficientes reales tales que % $ $$(\forall n \in \mathbb N)(\exists q \in \mathbb Q)(P(q)=n)$

¿Cuál es el mayor valor posible de $\deg P$? ($\deg P$ es el grado del polinomio de $P$)

Literalmente no tienen idea como dónde empezar, y una sugerencia sería más entonces suficiente.

Gracias de antemano.

Answer 1

Una primera observación: Si $P(x_n) = n $ para cada una de las $n$, a continuación, la secuencia $(x_n)$ no puede haber una acumulación de punto, o otra cosa $P$ tendría un la singularidad de allí, una contradicción (desde $P$ es un polinomio).

Vamos a probar $P(x) =ax+2+bx+c $.

Si $P(x) = n$, entonces $ax^2+bx+c=n$, así $x =\dfrac{-x\pm\sqrt{b^2-4a(c-n)}}{2a} $, así $b^2-4a(c-n) =r^2 $ o $n =\dfrac{r^2-b^2}{4}+c $. Para $n+1$, $n+1 =\dfrac{s^2-b^2}{4}+c $ para algunos racional $s$.

Restando, $1 =\dfrac{s^2-r^2}{4} $ o $4a =s^2-r^2 $ o $s-r =\dfrac{4}{s+r} $.

Desde $(x_n)$ no tiene un la acumulación de punto, podemos hacer $|s|$ y $|r|$ arbitrariamente grande.

Pero, a continuación, podemos hacer $s-r$ arbitrariamente pequeño, así $(x_n)$ habría un punto de acumulación en cero.

Esta es una contradicción.

Por lo tanto $P$ no puede ser de grado 2.

No estoy seguro de cómo generalizar esto, ya que de ello depende la solución explícita para cuadráticas.

Voy a dejar en este y la esperanza de que alguien puede utilizar las ideas en esta respuesta.