Obligar al discriminante de forma integral a ser un número de Carmichael.

Question

Yo estaba pensando en el siguiente lema recientemente.

Lema: Vamos a $K=\mathbb{Q}(\theta)$ para algunos algebraicas número $\theta$ y deje $n=[K:\mathbb{Q}]$. Si $\{\tau_1, \,\dots\,, \tau_n\}$ consiste algebraica de los números enteros y el discriminante $\Delta_{K} [\tau_1 ,\, \dots \,, \tau_n]$ es squarefree, a continuación, $\{\tau_1,\, \dots\, ,\,\tau_n\}$ es una parte integral de base para el anillo de enteros algebraicos $\mathcal{O}_{K}$.

[NB: El recíproco no es cierto: consideremos, por ejemplo, $\mathbb{Q}(\sqrt{-5})$ integral con base $\{1, \sqrt{-5}\}$ s.t. $\Delta_{\mathbb{Q}(\sqrt{5})} (1, \sqrt{-5})=-20$.]

Me puse a pensar acerca de los números de Carmichael (simplemente porque están squarefree) y así se me ocurrió esta pregunta:

¿Cómo podemos restringir $K$ y un integrante de base $\mathcal{B}=\{\tau_1,\, \dots\, ,\, \tau_n\}$$K$, de modo que el discriminante $\Delta_{K} (\tau_1,\, \dots \,,\, \tau_n)=C$ es un número de Carmichael?

Yo no tengo ningún coherente de ideas, me temo; espero que no te importa. He mirado por internet pero no pude encontrar nada.

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Pensamientos: en cuanto a la definición de $\Delta_{K}$, podría tener que restringir la conjugación de los mapas un poco para hacer el primer divisores de $C$ pop.

Un Frustrado Sub-pregunta:

Qué tal discriminantes siquiera existen?

Estoy buscando a $\sqrt{\pm 561}$ y un número similar para ver si puedo encontrar uno. Ver mis comentarios a continuación una descripción de un intento similar que pueda requerir de un programa de ordenador.

¿Por qué es esto interesante? No sé: tengo curiosidad $\ddot\smile$

Answer 1

Como usted dice, por Stickelberger del Teorema, el discriminante de cualquier campo de número de es $0$ o $1$ modulo $4$.

Por el contrario, si $d \equiv 1 \pmod{4}$ es squarefree, entonces el discriminante de $\mathbb{Q}(\sqrt{d})$$d$. Un integrante de base para el anillo de enteros en este caso es $\{1$, $\frac{1+\sqrt{d}}{2}\}$.

De ello se desprende que un número de Carmichael es un discriminante de un campo de número si y sólo si es $1$ modulo $4$. Sin duda un montón de números de Carmichael se $1$ modulo $4$, pero no todos de ellos: yo creo que el primer contraejemplo es $8911$. Es conocido que existen infinitos números de Carmichael (este es uno de los más famosos de los resultados que han salido de mi departamento de matemáticas), pero yo no soy un Carmichael experto y no sé si hay infinitamente muchos de los cuales se $1$ modulo $4$. Es la parte de tu pregunta?