Productos tensores

Question

Estoy tratando de entender los productos tensoriales de los espacios vectoriales (aunque me gustaría ver argumentos en un entorno más general).

Me preocupan principalmente dos afirmaciones:

i) Si $U,V,W$ son espacios vectoriales, entonces existe una correspondencia uno a uno $\{ \mathrm{linear \ maps} \ V \otimes W \to U \} \longleftrightarrow \{ \mathrm{bilinear \ maps} \ V\times W \to U \} $ .

ii) Existe un isomorfismo natural (independiente de la base) $ (U \oplus V) \otimes W \to (U \otimes W) \oplus (V \otimes W)$

Para la primera de estas afirmaciones, puedo ver el mapa de izquierda a derecha; cualquier mapa lineal $\phi : V \otimes W \to U$ da lugar a un mapa bilineal $ V \times W \to V \otimes W \to U$ donde el primero de estos mapas es el mapa canónico $p: (v,w) \mapsto v \otimes w$ y el segundo es $\phi$ . No puedo ver, sin embargo, por qué cualquier mapa bilineal $V \times W \to U$ necesariamente factores en $\phi \circ p$ para algún mapa lineal adecuado $\phi$ .

No tengo mucha experiencia con los diagramas conmutativos. Creo que me he convencido de que ii) es cierto con un diagrama conmutativo, pero no sé si es correcto (y tampoco sé cómo hacerlo fácilmente en LaTeX...)

Se agradecería cualquier ayuda. Gracias.

Answer 1

En tu definición (¡deberías buscar la propiedad universal del tensorproducto!) puedes argumentar lo siguiente:

Si $b$ es un mapa bilineal $V\times W \rightarrow U$ se puede definir simplemente un mapa lineal $$ v_i \otimes w_j \mapsto b(v_i,w_j) $$ ya que conoce el $v_i\otimes w_j$ son una base y se puede definir un mapa lineal eligiendo valores arbitrarios para los elementos de una base.

Answer 2

El enfoque de los productos tensoriales de los espacios vectoriales es el siguiente: piensa en ellos de forma abstracta pero debes tener en mente ejemplos concretos.

El primer problema surge del hecho de que si $V$ et $W$ son espacios vectoriales (abstractos o concretos) entonces $V \otimes W$ es otro espacio vectorial que puede construirse de más de una forma y, dependiendo de la situación, una forma puede ser mejor que otra.

Le sugiero que se centre en $V=W =$ el conjunto de funciones de valor real sobre un conjunto $S$ . Supongamos que $S$ es finito par, en cuyo caso $V$ es isomorfo al $|S|$ -espacio euclidiano. Pero piensa en $V$ como un espacio de funciones. Si $x \in V$ , dejemos que $x_i$ sea el valor de la función $x$ en el punto $i\in S$ . Ahora piensa en funciones de dos variables, es decir, en funciones sobre $S \times S$ . ¿Cuál es la forma más sencilla de crear una función de dos variables? Bien, toma dos funciones $x, y$ de una variable (es decir $x, y \in V$ ) y formar la función $$ (i,j) \mapsto x_i y_j. $$ Dar un nombre a esta función: $x \otimes y$ . Así que, $$ (x \otimes y)(i,j) := x_i y_j. $$ El conjunto de estas funciones (que llamamos "elementales") no es un espacio lineal. Tomando combinaciones lineales de ellas se crean nuevas funciones de dos variables. Definamos entonces $$ V \otimes V := \text{ all finite linear combinations of elementary functions.} $$

Teorema (puede demostrarlo): Si $S$ es finito entonces $V \otimes V$ es el conjunto de TODAS las funciones de $2$ variables .

Esto es lo que es el producto tensorial en un caso concreto. Se puede repetir el argumento con $n$ copias de $V$ ojo por ojo.

El caso abstracto no es más que una encarnación de esta idea concreta.

Si pudiéramos pensar en un espacio vectorial abstracto como un espacio de funciones, entonces podríamos repetir el proceso concreto y construir productos tensoriales de la misma manera. ¿Podemos pensar en un espacio vectorial abstracto como un espacio de funciones? Sí. Pensando en un elemento $v \in V$ como una función que toma un funcional lineal $f: V \to \mathbb R$ en el número $f(v)$ . Con esta idea se puede construir concretamente $V \otimes V$ et $V \otimes V \otimes V$ etc., e incluso $V \otimes U \otimes W$ etc.

Pero no es aconsejable pensar siempre en esta forma concreta de construir productos tensoriales para espacios abstractos. ¿Por qué no? Para entenderlo, se necesita experiencia.

Así pues, tenemos una forma abstracta de construir el espacio del producto tensorial $T= V \otimes V$ Y es esto:

Definición . $T$ es ALGÚN espacio vectorial con la propiedad de que existe algún mapa bilineal $\otimes : V \times V \to T$ tal que, para cualquier espacio vectorial $W$ y para cualquier mapa bilineal $\phi: V \times V \to W$ hay un mapa LINEAL $\overline \phi: V \otimes V \to W$ con $$ \phi(v_1, v_2) = \overline\phi(v_1\otimes v_2). $$

EJERCICIOS : Arreglar $V$ .

1) Demuestre que tal $T$ existe. (Lo hemos hecho.)

2) Demuestre que si $T, T'$ son dos espacios de producto tensorial, entonces existe una biyección lineal $A: T \to T'$ y una biyección lineal $B: T' \to T$ . Por lo tanto, los dos espacios son "el mismo". Por lo tanto, no importa cómo definamos $T$ esencialmente obtenemos lo mismo.